《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题40 用二分法求方程的近似解(解析版)

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专题 40 用二分法求方程的近似解

知识点一二分法的概念

对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点

所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

做二分法．

知识点二用二分法求方程近似解的步骤

给定精确度 ε，用二分法求函数 y＝f(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：

(1)确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)＜0.

(2)求区间(a，b)的中点 C

．

(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c就是函数的零点；

②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；

③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝C

．

(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

知识点三新知拓展

1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点 (曲线通过零点时，函数值

的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求

函数 f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．

2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区

间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．

3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就

是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．

4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点 x0的满足精确度 ε的近似值．为了方

便，这里统一取区间端点 a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比

如得数是 1.25 或1.34，精确到 0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1.3.而“精确度为 0.

1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若

精确度为 0.1，则近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.

5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且 f(a)·f(b)<0.

6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如 f

(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如 F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，

然后按照用二分法求函数 F(x)零点近似值的步骤求解．

题型一二分法的适用条件

1．下列图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)

[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且 f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间

一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项 B，C，D满足条件，

而选项 A不满足，在 A中，图象经过零点 x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．

故选 A．

2．已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　

)

A．4,4　　　B．3,4　　　C．5,4　　　 D．4,3

[解析]图象与 x轴有 4个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的零点有 3个，

所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.

3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是(　　)

[解析]由于只有 C满足图象连续，且 f(a)·f(b)<0，故只有 C能用二分法求零点．

4．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A　　B　　　　C　　　　D

[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选

项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．

另外，选项 A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为 B

5．已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

[解析]因为 x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．

6．用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2 C．x3D．x4

[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．

7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)

A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3

C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x

[解析]对于选项 C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数 f(x)＝|x|存在零点，但当 x>0时，f(x)>

0；当 x<0时，f(x)>0，所以 f(x)＝|x|的函数值非负，即函数 f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函

数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．

8．用二分法求函数 f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(　　)

①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；② f(a)·f(b)<0；③ f(a)·f(b)>0；④ f(a)·f(b)≥0.

A．①② B．①③ C．①④ D．②

[解析]　由二分法的定义知①②正确.

9．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3

C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1

[解析]因为 f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于 0的函数值，所以不能用二分法求零点．

题型二用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)

1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　)

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D．只能用二分法求函数的零点

[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项 A错误；

二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C错误；求函数零点的方法

还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选 B.

2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)

A．“二分法”求方程的近似解一定可将 y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到

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