《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题39 函数的零点与方程的解(原卷版)

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专题 39 函数的零点与方程的解

1．函数的零点

对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．

函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0的实数解，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x轴的公共点的

横坐标．

2．方程的解与函数零点的关系

方程 f(x)＝0有实数解⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴有公共点．

3．函数零点存在定理

如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函

数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是

方程 f(x)＝0的解．

注意：(1)函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．

(2)若连续不断的曲线 y＝f(x)在区间[a，b]上有 f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，

但不能确定有几个．

(3)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那

么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个

c也就是方程 f(x)＝0的实数解．

4．函数零点的求法

1代数法：求方程 fx＝0的实数根.

2几何法：对于不能用求根公式的方程 fx＝0，可以将它与函数 y＝fx的图象联系起来.图

象与 x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

5．判断函数零点个数的方法

(1)直接求出函数的零点进行判断．

(2)结合函数图象进行判断．

(3)借助函数的单调性进行判断．若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，

且在区间(a，b)上单调，满足 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如

图所示．

题型一求函数的零点

1．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)

2．函数 y＝4x－2的零点是(　　)

A．2 B．(－2,0)

C．D．

3．函数 y＝2x－1的零点是(　　)

A.　　　B.　　C.　　 D．2

4．函数 f(x)＝的零点是________．

5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.

6．若函数 f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是 2和3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)

A．－1和 B．1和－

C.和 D．－和

7．求函数 f(x)＝的零点；

8．已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为(　　)

A.，0 B．－2,0

C. D．0

9．已知函数 f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为 3，求函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点．

10．若函数 f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数 a的值，并求函数 f(x)其余的零点．

11．已知函数 f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是 2和3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1的零点是

________．

题型二判断函数零点所在的区间

1．函数 f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)

A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)

2．函数 f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)　　　 B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

3．函数 f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

4．函数 f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞) B.

C. D.

5．函数 f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10)

6．函数 f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(3,4)　　　　　 B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)

7．根据表格内的数据，可以断定方程 ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　)

x－10 1 2 3

ex0.37 1 2.72 7.39 20.0

x＋32 3 4 5 6

A.(－1,0) B．(0,1)

C．(1,2) D．(2,3)

8．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：

不求 a，b，c的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)

A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)

C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)

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