《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题39 函数的零点与方程的解(解析版)

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专题 39 函数的零点与方程的解

1．函数的零点

对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．

函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0的实数解，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x轴的公共点的

横坐标．

2．方程的解与函数零点的关系

方程 f(x)＝0有实数解⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴有公共点．

3．函数零点存在定理

如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函

数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是

方程 f(x)＝0的解．

注意：(1)函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．

(2)若连续不断的曲线 y＝f(x)在区间[a，b]上有 f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，

但不能确定有几个．

(3)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那

么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个

c也就是方程 f(x)＝0的实数解．

4．函数零点的求法

1代数法：求方程 fx＝0的实数根.

2几何法：对于不能用求根公式的方程 fx＝0，可以将它与函数 y＝fx的图象联系起来.图

象与 x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

5．判断函数零点个数的方法

(1)直接求出函数的零点进行判断．

(2)结合函数图象进行判断．

(3)借助函数的单调性进行判断．若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，

且在区间(a，b)上单调，满足 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如

图所示．

题型一求函数的零点

1．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)

[解析]结合函数零点的定义可知选项 D没有零点．

2．函数 y＝4x－2的零点是(　　)

A．2 B．(－2,0)

C．D．

[解析]令 y＝4x－2＝0，得 x＝.∴函数 y＝4x－2的零点为.

3．函数 y＝2x－1的零点是(　　)

A.　　　B.　　C.　　 D．2

[解析]由 2x－1＝0得x＝.

4．函数 f(x)＝的零点是________．

[解析]令 f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数 f(x)的零点为 1.

5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.

[解析] (1)解方程 f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.

(3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是 log26.

(4)解方程 f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.

6．若函数 f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是 2和3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)

A．－1和 B．1和－

C.和 D．－和

[解析]∵函数 f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是 2和3，

∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为 1和－，故选 B.

7．求函数 f(x)＝的零点；

[解析] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3；

当x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2.

所以函数 f(x)＝的零点为－3和e2.

8．已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为(　　)

A.，0 B．－2,0

C. D．0

[解析]当 x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以 x＝0；当 x>1 时，由f(x)＝0，得1＋log2x

＝0，

所以 x＝，不成立，所以函数的零点为 0，故选 D.

9．已知函数 f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为 3，求函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点．

[解析]由已知得 f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得 x＝0或x＝－.

所以函数 g(x)的零点为 0和－.

10．若函数 f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数 a的值，并求函数 f(x)其余的零点．

[解析]由题意知 f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.

解方程 x2＋x－6＝0，得 x＝－3或2.，∴函数 f(x)其余的零点是 2.

11．已知函数 f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是 2和3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1的零点是

________．

[解析]由题意知，方程 x2－ax－b＝0的两根为 2,3，∴即 a＝5，b＝－6，

∴方程 bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－，－，即为函数 g(x)的零点．

题型二判断函数零点所在的区间

1．函数 f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)

A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)

[解析]由 f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，

得f(x)的零点所在区间为(1,2)．

2．函数 f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)　　　 B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

[解析]∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,

2)．

3．函数 f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

[解析]因为函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又 f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，

f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以 f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是

(0,1)．

4．函数 f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞) B.

C. D.

[解析]由 f(x)＝2x－，得f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴f·f(1)<0.

∴零点所在区间为.

5．函数 f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10)

[解析]因为 f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－＝1－>0，所以 f(9)·f(10)<0，

所以 f(x)＝lg x－在区间(9,10)上有零点，故选 D．

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