《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题38 不同函数增长的差异(解析版)

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专题 38 不同函数增长的差异

1.三种函数模型的性质

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)

在(0，＋∞)上的

增减性增函数增函数增函数

图象的变化趋势随x增大逐渐近似

与y轴平行

随x增大逐渐近似

与x轴平行保持固定增长速度

增长速度

①y＝ax(a>1)：随着 x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于

y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；

②存在一个 x0，当 x>x0时，有 ax>kx>logax

2.几种函数模型的增长差异

(1)当a＞1时，指数函数 y＝ax是增函数，并且当 a越大时，其函数值的增长就越快．

(2)当a＞1时，对数函数 y＝logax是增函数，并且当 a越小时，其函数值的增长就越快．

(3)当x＞0，n＞1时，幂函数 y＝xn显然也是增函数，并且当 x＞1时，n越大，其函数值的

增长就越快．

(4)一般地，虽然指数函数 y＝ax(a>1)与一次函数 y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，

但它们的增长速度不同，随着 x的增大，指数函数 y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使 k

的值远远大于 a的值，

y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于 y＝kx 的增长速度．

尽管在 x的一定变化范围内，

ax会小于 kx，但由于指数函数 y＝ax(a>1)的增长最终会快于

一次函数 y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个 x0，当 x>x0时，恒有 ax>kx.

(5)一般地，虽然对数函数 y＝logax(a>1)与一次函数 y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递

增，但它们的增长速度不同．随着 x的增大，一次函数 y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而

对数函数 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论 a的值比 k的值大多少，在一定范围内，

logax可能会大于 kx，但由于 logax的增长慢于 kx 的增长，因此总会存在一个 x0，当 x>x0时，

恒有 logax<kx.

3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函

数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着 x的增大，y＝ax(a＞1)的

增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速

度则会越来越慢，总会存在一个 x0，当 x＞x0时，就有 logax＜xn＜ax.

题型一几类函数模型增长差异的比较

1．下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 019x　　　 B．y＝2019

C．y＝log2 019x D．y＝2 019x

[解析]指数函数 y＝ax，在a>1 时呈爆炸式增长，并且随 a值的增大，增长速度越快，应选

2．下列函数中，随 x的增大，增长速度最快的是(　　)

A．y＝1　　 B．y＝x

C．y＝3x D．y＝log3x

[解析]结合函数 y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着 x的增大，增长速度

最快的是 y＝3x.

3．当 a>1 时，有下列结论：

①指数函数 y＝ax，当 a越大时，其函数值的增长越快；

②指数函数 y＝ax，当 a越小时，其函数值的增长越快；

③对数函数 y＝logax，当 a越大时，其函数值的增长越快；

④对数函数 y＝logax，当 a越小时，其函数值的增长越快．

其中正确的结论是(　　)

A．①③　　　　　 B．①④ C．②③ D．②④

[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选 B.

4．下面对函数 f(x)＝logx，g(x)＝

与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的

是(　　)

A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢

B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快

C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变

D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快

[解析]观察函数 f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函

数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，

且越来越慢，同样，函数 g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；

函数 h(x)的图象递减速度不变．

5．函数 y＝x2与函数 y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .

[解析]当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比 xln x增长的要快．

6．四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x变化的数据如表：

x1 5 10 15 20 25 30

y12 26 101 226 401 626 901

y22 32 1 024 37 768 1.05×1063.36×1071.07×109

y32 10 20 30 40 50 60

y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907

关于 x呈指数函数变化的变量是________．

[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4

均是从 2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，

画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x呈指数型函数变化．故填 y2.

7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度 h和时间 t之间的关系是(　　)

[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为 B．

8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快

速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵

塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除

B.故选 C.

9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的

变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C

对应________；D对应________．

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