《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题37 对数函数的性质及其应用(解析版)

3.0 cande 2025-05-11 38 4 185.67KB 15 页 3知币
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专题 37 对数函数的性质及其应用
知识点 一 对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的性质
(1)定义域： (0，＋∞)．
(2)值域： (－∞，＋∞)．
(3)定点： (1,0)．
(4)单调性：a>1 时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
(5)函数值变化
当a>1，x>1 时，y∈ (0，＋∞)；0<x<1 时，y∈ (－∞，0)；
当0<a<1，x>1 时，y∈ (－∞，0)；0<x<1 时，y∈ (0，＋∞)．
可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于 1或同小于 1，“异”
指一个大于 1一个小于 1.
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点 二　反函数的概念
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线 y
＝x对称．对数函数 y＝logax的定义域是指数函数 y＝ax的值域，而 y＝logax的值域是 y＝ax
的定义域．
(1)并非任意一个函数 y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才
有反函数．
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数 y＝f(x)的值域；
②由 y＝f(x)解出 x＝f－1(y)；
③把 x＝f－1(y)改写成 y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
题型一 比较对数值的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；(2)log2 与log2；(3)log23与log54.
[解析](1)法一(单调性法)：对数函数 y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以 log5<log5.
法二(中间值法)：因为 log5<0，log5>0，所以 log5<log5.
(2)法一(单调性法)：由于 log2＝，log2＝，
又因对数函数 y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以 0>log2>log2，
所以<，所以 log2<log2.
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出 y＝logx及y＝logx的图象，
由图易知：log2<log2.
(3)取中间值 1，因为 log23>log22＝1＝log55>log54，所以 log23>log54.
2．比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.
[解析](1)因为函数 y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以 log0.5>log0.6.
(2)因为函数 y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以 log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为 0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57.
(4)因为 log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以 log3π>log20.8.
3．比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．
[解析](1)因为 y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以 log31.9<log32.
(2)因为 log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以 log23>log0.32.
(3)当a>1 时，函数 y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有 logaπ>loga3.14；
当0<a<1 时，函数 y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有 logaπ<loga3.14.
综上所得，当 a>1 时，logaπ>loga3.14；当 0<a<1 时，logaπ<loga3.14.
4．比较下列各组数的大小
(1)log0.13与log0.1π；(2)log45与log65；(3)3log45与2log23；(4)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a＞0且
a≠1)．
[解析] (1)∵函数 y＝log0.1x是减函数，π>3，∴log0.13>log0.1π.
(2)法一：∵函数 y＝log4x和y＝log6x都是增函数，∴log45>log44＝1，log65<log66＝1.∴log45
>log65.
法二：画出 y＝log4x和y＝log6x在同一坐标系中的图象如图所示，
由图可知 log45＞log65.
(3)∵3log45＝log453＝log4125＝＝log2125＝log2，2log23＝log232＝log29，
又∵函数 y＝log2x是增函数，>9，∴log2>log29，即 3log45>2log23.
(4)∵a＋2＜a＋3，
故①当 a＞1时，loga(a＋2)＜loga(a＋3)；②当 0＜a＜1时，loga(a＋2)＞loga(a＋3)．
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且 a≠1)．
[解析] (1)因为函数 y＝lnx 是增函数，且 0.3<2，所以 ln0.3<ln2.
(2)解法一：因为 0>log0.23>log0.24，所以<，即 log30.2<log40.2.
解法二：如图所示，由图可知 log40.2>log30.2.
(3)因为函数 y＝log3x是增函数，且 π>3，所以 log3π>log33＝1.
因为函数 y＝logπx是增函数，且 π>3，所以 logπ3<logππ＝1.所以 log3π>logπ3.
(4)当a>1 时，函数 y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又 3.1<5.2，所以 loga3.1<loga5.2；
当0<a<1 时，函数 y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又 3.1<5.2，所以 loga3.1>loga5.2.
6．已知实数 a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则 a，b，c的大小关系为(　　)
A．b<c<a B．b<a<c
C．c<a<b D．c<b<a
[解析]由题知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故 c<b<a.[答案]　D
7．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.44＜log0.46　　　　　 　B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67
[解析]选D，因为 y＝log0.4x为减函数，故 log0.44＞log0.46，故 A错；因为 y＝1.01x为增函数，
所以 1.013.4＜1.013.5，故 B错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故 C错．
8．已知 a＝2，b＝log2，c＝log ，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[解析]∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log ＞log ＝1，∴c＞a＞b.故选 D.
9．如果 log\f(1,2x<log\f(1,2y<0，那么(　　)
A．y<x<1 B．x<y<1
C．1<x<yD．1<y<x
[解析]对数函数 y＝log\f(1,2x在(0，＋∞)上单调递减，则由 log\f(1,2x<log\f(1,2y<0＝log\f(1,
21，可得 1<y<x.
10．设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b　　　　 B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
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