《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题36 对数函数的概念、图象及性质(解析版)

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专题 36 对数函数的概念、图象及性质

1．对数函数的概念

函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

判断一个函数是对数函数必须是形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为 1. (2)底数为大于 0且不等于 1的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.

2．对数函数的图象及性质

a的范围 0<a<1 a>1

图象

定义域 (0，＋∞)

值域 R

性

质

定点 (1,0)，即 x＝1时，y＝0

单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数

3．反函数

指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数．

4．底数对函数图象的影响

对数函数 y＝log2x，y＝log3x，y＝log\f(1,2x，y＝log\f(1,3x的图象如图所示，可得如下

规律：

①y＝logax与y＝log\f(1,ax的图象关于 x轴对称；

②当 a＞1时，底数越大图象越靠近 x轴；当 0＜a＜1时，底数越小图象越靠近 x轴．

5．函数图象的变换规律

1一般地，函数 y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数 y＝fx的图象沿 x轴向左或向右

平移|a|个单位长度，再沿 y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于

直线 x＝a对称的轴对称图形；函数 y＝|fx|的图象与 y＝fx的图象在 fx≥0 的部分相同，

在fx<0 的部分关于 x轴对称.

题型一对数函数的概念及应用

1．指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2) y＝log6x；(3) y＝logx3；(4) y＝log2x＋1.

[解析] (1)log2x的系数是 3，不是 1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式 log2x后又加 1，不是对数函数．

2．下列给出的函数：① y＝log5x＋1；② y＝logax2(a>0，且 a≠1)；③ y＝log(－1)x；④ y＝lo

g3x；

⑤y＝logx(x>0，且 x≠1)；⑥ y＝logx.其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤　　　　 B．②④⑥

C．①③⑤⑥ D．③⑥

[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选 D.

3．下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)

①y＝logx2；② y＝logax(a∈R)；③ y＝log8x；④ y＝ln x；⑤ y＝logx(x＋2)；⑥ y＝2log4x；

⑦y＝log2(x＋1)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

[解析]形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的

不符合．故选 B.

4．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x

[解析]结合对数函数的形式 y＝logax(a>0且a≠1)可知 D正确．

5．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝loga(2x) B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x

[解析]形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有 D，其他的不

符合．故选 D.

6．下列函数是对数函数的有(　　)

①y＝2log3x；② y＝1＋log3x；③ y＝log3x；④ y＝(log3x)2.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

[解析]结合对数函数的形式 y＝logax(a>0且a≠1)可知 A正确．

7．若 f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则 a＝______.

[解析]由对数函数的定义可知，解得 a＝5.答案：5

8．函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则 f等于(　　)

A．3 B．－3 C．－log36 D．－log38

[解析]∵函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，∴解得 a＝2，

∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3.故选 B.

9．若函数 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则 a＝________.

[解析]因为函数 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得 a＝4.

10．若函数 f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则 a＝________.

[解析]　由对数函数的定义可知解得 a＝4.

11．若对数函数 y＝f(x)满足 f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log2xB．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定

[解析]设对数函数的解析式为 y＝logax(a >0，且 a≠1)，由题意可知 loga4＝2，∴a2＝4，∴a

＝2.

∴该对数函数的解析式为 y＝log2x.

12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则 f＝__________.

[解析]设对数函数为 f(x)＝logax(a>0 且a≠1)，由f(16)＝4可知 loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－1.

13．已知对数函数 f(x)的图象过点(8，－3)，则 f(2)＝________.

[解析]设 f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则－3＝loga8，∴a＝，

∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.

14．已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)．若 f(3)＝1，则 a＝________.

[解析]由 f(3)＝1得 log2(32＋a)＝1，所以 9＋a＝2，解得 a＝－7.

15．已知 f(x)为对数函数，f＝－2，则 f＝________.

[解析]设 f(x)＝logax，则 f＝loga＝－2，得 a＝，f＝log＝－4.

16．已知函数 f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且 f＝4，则 f(2019)的值为(　　)

A．－4 B．－2 C．0 D．2

[解析]f(x)＋f＝alog2 x＋blog3 x＋2＋alog2＋blog3＋2＝4，所以 f(2019)＋f＝4，

又因为 f＝4，所以 f(2019)＝0.

17．已知函数 f(x)＝若 f(a)＝，则 a＝________.

[解析]当 x>0 时，f(x)＝log2x，由f(a)＝得 log2a＝，即a＝.

当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝得 2a＝，a＝－1.

综上 a＝－1或.

18．设函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，若 f(x1x2…x2 019)＝8，则 f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于

___．

[解析]∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋logax＋…＋logax

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