《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题35 对数的运算(解析版)

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专题 35 对数的运算
1．对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2．对数的换底公式
若a>0 且a≠1；c>0 且c≠1；b>0，则有 logab＝.
3．由换底公式推导的重要结论
(1)logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为 1)；
(2) logab＝(a>0，b>0，且均不为 1)；
(3) ＝logab(a>0，b>0，且均不为 1，m≠0)．
题型一 对数运算性质的应用
1．若 a>0，且 a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)； ② logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay； ④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn； ⑥ logax＝－loga；
⑦＝loga； ⑧ loga＝－loga.
其中式子成立的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
[解析]对于①，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log24·log22＝2×1＝2，而 log2(4＋2)＝log26≠2，
∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；
对于②，取 x＝8，y＝4，a＝2，则 log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x
－y)不成立；
对于③，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log2(4×2)＝log28＝3，而 log24·log22＝2×1＝2≠3，
∴loga(xy)＝logax·logay不成立；
对于④，取 x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立；
对于⑤，取 x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；
⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；
⑦成立，由于 loga＝logax＝logax；
⑧成立，由于 loga＝loga－1＝－loga.
[答案]　A
2．若 a>0，且 a≠1，则下列说法正确的是(　　)
A．若 M＝N，则 logaM＝logaN B．若 logaM＝logaN，则 M＝N
C．若 logaM2＝logaN2，则 M＝N D．若 M＝N，则 logaM2＝logaN2
[解析]在A中，当 M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此 logaM＝logaN不成立，故
A错误；
在B中，当 logaM＝logaN时，必有 M>0，N>0，且 M＝N，因此 M＝N成立，故 B正确；
在C中，当 logaM2＝logaN2时，有 M≠0，N≠0，且 M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有 M＝N，
例如 M＝2，N＝－2时，也有 logaM2＝logaN2，但 M≠N，故 C错误；
在D中，若 M＝N＝0，则 logaM2与logaN2均无意义，因此 logaM2＝logaN2不成立，故 D错
误．
[答案]　B
3．已知 ab＞0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；② lg＝lg a－lg b；
③lg2＝lg ；④ lg(ab)＝，其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：①②式成立的前提条件是 a＞0，b＞0；④式成立的前提条件是 ab≠1，只有③式成
立．
4．若 a>0，且 a≠1，x∈R，y∈R，且 xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
①logax2＝2logax；② logax2＝2loga|x|；③ loga(xy)＝logax＋logay；④ loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④　　　B．①③ C．①④　　　D．②③
[解析]∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选 B.
5．求下列各式的值：
(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；
(4)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(5)lg25＋lg 2·lg 50；(6)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解析](1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝
0.
(4)原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
(5)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(6)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
6．计算：
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)log2＋log212－log242－1；
(3)lg－lg＋lg； (4) ；
[解析] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22＝log2＝log2=－.
(3)解法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
解法二：原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(4)原式＝＝＝＝.
7．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；(2)lg(＋)；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(4)4lg 2＋3lg 5－lg ；(5)2log32－log3＋log38－5log53；(6)log2＋log2.
[解析](1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，∴2log525＋3log26
4＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg(＋)2＝lg(3＋＋3－＋2)＝lg10＝.
(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
(4)原式＝lg ＝lg 104＝4.
(5)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.
(6)原式＝log2(·)＝log24＝2.
8．计算：(1)log27＋lg 4＋lg 25；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2 )2＋lg ＋lg 0.06；
(3)2＋＋lg 20－lg 2－(log32)×(log23)＋(－1)lg 1.
[解析](1)原式＝log ()6＋2lg 2＋2lg 5＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8.
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.
(3)原式＝＋＋lg－·＋1＝＋－1＋lg 10－1＋1＝2.
9．lg＋lg 的值是________．2log510＋log50.25 的值是________
[解析]　lg＋lg＝lg＝lg10＝1. 2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
10．化简 log612－2log6的结果为
[解析]　log612－2log6＝log62－log62＝log6＝log6
11．如果 lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c5
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