《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题34 对数的概念(解析版)

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专题 34 对数的概念

1．对数的定义

一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，

其中 a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，记为 lgN.在科学技术中常使用以无理数 e

＝2.71828…为底的对数，以 e为底的对数称为自然对数，并记为 lnN.

3．指数与对数的互化

当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

4．对数的基本性质

(1)对数的基本性质

①零和负数没有对数，即真数 N>0；

②1的对数为 0，即 loga1＝0(a>0，且 a≠1)；

③底数的对数等于 1，即 logaa＝1(a>0，且 a≠1)．

(2)两个重要的对数恒等式

①对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)；

②logaaN＝N(a>0，且 a≠1)．

题型一对数的概念

1．使对数 log2(－2x＋1)有意义的 x的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

[解析]要使对数 log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0 即可，即 x<，

所以 x的取值范围为，故选 C.

2．使对数 loga(5－a)有意义的 a的取值范围为(　　)

A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,5)

C．(0,1)∪(1,5) D．(－∞，5)

[解析]由对数的概念可知 a需满足 a>0 且a≠1且5－a>0，解得 0<a<5 且a≠1.[答案]　C

3．使 log(x－1)(x＋2)有意义的 x的取值范围是________．

[解析] 要使 log(x－1)(x＋2)有意义，则∴x>1 且x≠2.

4．函数 f(x)＝中 x的取值范围是(　　)

A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)

[解析] 要使函数有意义，必有解得 x>－1且x≠1，故选 C.

5．若log(2x－1)(x＋2)有意义，求 x的取值范围．

[解析]若对数有意义，则真数大于 0，底数大于 0且不等于 1，

所以解得 x>，且 x≠1.即x的取值范围是.

6．若对数 log(2a－1)(6－2a)有意义，则实数 a的取值范围为(　　)

A．(－∞，3) B.

C.∪(1，＋∞) D.∪(1,3)

[解析]由已知，得⇒⇒＜a＜3且a≠1，故选 D.

7．对于 a＞0，且 a≠1，下列说法中，正确的是(　　)

①若 M＝N，则 logaM＝logaN；②若 logaM＝logaN，则 M＝N；

③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N；④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2.

A．①③ B．②④ C．② D．①②③④

[解析]对于①，当 M＝N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立；对于②，logaM＝lo

gaN，则必有 M＞0，N＞0，M＝N；对于③，当 M，N互为相反数且不为 0时，也有 logaM2

＝logaN2，但此时 M≠N；对于④，当 M＝N＝0时，logaM2，logaN2都没有意义，故不成立．

综上，只有②正确．

题型二指数式与对数式的互化

1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；(2)－2＝16；(3)log\f(1,327＝－3；(4)log64＝－6.

[解析] (1)∵3－2＝，∴log3＝－2. (2)∵－2＝16，∴log16＝－2.

(3)∵log\f(1,327＝－3，∴－3＝27. (4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.

2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log\f(1,232＝－5；(5)lg0.001＝－3.

[解析] (1)log2＝－7. (2)log327＝a. (3)lg0.1＝－1. (4)－5＝32. (5)10－3＝0.001.

3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．

(1)53＝125；(2)4－2＝；(3)log\f(1,28＝－3；(4)log3＝－3.(5)lg 1 000＝3；(6)ln x＝2.

[解析] (1)∵53＝125，∴log5125＝3. (2)∵4－2＝，∴log4＝－2.

(3)∵log\f(1,28＝－3，∴－3＝8. (4)∵log3＝－3，∴3－3＝.

(5)由lg 1 000＝3，可得 103＝1 000. (6)由ln x＝2，可得 e2＝x.

4．(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝；34＝81；m＝n；

(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.

[解析] (1)log216＝4；log2＝－5；log381＝4；logn＝m.

(2)53＝125；－4＝16；eb＝a；103＝1000.

5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)

A．e0＝1与ln1＝0 B．8＝与 log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7

[解析]由log39＝2，得 32＝9，故选 C.

6．已知 f(ex)＝x，则 f(3)＝(　　)

A．log3 e　　　　　 B．ln 3

C．e3 D．3e

[解析]∵f(ex)＝x，∴由 ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，选B.

7．若 loga＝c，则下列关系式中正确的是(　　)

A．b＝a5cB．b5＝ac

C．b＝5acD．b＝c5a

[解析]由loga＝c，得 ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.[答案]　A

8．若 logx＝z，则 x，y，z之间满足(　　)

A．y7＝xz B．y＝x7z

C．y＝7xz D．y＝z7x

[解析]∵logx＝z，∴＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z.

9．若a＝log23，则 2a＋2－a＝________；

[解析]因为 a＝log23，所以 2a＝3，则 2a＋2－a＝3＋3－1＝.

10．若 xlog23＝1，则 3x＋9x的值为(　　)

A．6 B．3

C． D．

[解析]由xlog23＝1得3x＝2，因此 9x＝(3x)2＝4，所以 3x＋9x＝2＋4＝6，故选 A.

11．若 a＝lg 2，b＝lg 3，则 100 的值为________．

[解析]∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴100 ＝＝.

12．若 log\f(1,2x＝m，logy＝m＋2，求的值．

[解析]　∵log\f(1,2x＝m，∴m＝x，x2＝2m.∵log\f(1,4y＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.

∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.

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