《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题33 指数函数的性质及其应用(解析版)

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专题 33 指数函数的性质及其应用

1．指数函数值与 1的大小关系

(1)a>1 时，当 x>0 时，y>1；当 x<0 时，0<y<1.

(2)0<a<1 时，当 x>0 时，0<y<1；当 x<0 时，y>1.

2．对称关系

函数 y＝a－x与y＝ax的图象关于 y轴对称．

3．图象位置关系

指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则 0<c<d<1<

a<b.

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；

即无论在 y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．

4．函数图象的对称和变换规律

一般地，把函数 y＝f(x)的图象向右平移 m个单位得函数 y＝f(x－m)的图象(m∈R，若 m

<0 就是向左平移|m|个单位)；把函数 y＝f(x)的图象向上平移 n个单位，得到函数 y＝f(x)＋n

的图象(n∈R，若 n<0，就是向下平移|n|个单位)．

函数 y＝f(x)的图象与 y＝f(－x)的图象关于 y轴对称，函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝－f

(x)的图象关于 x轴对称，函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

函数 y＝f(|x|)的图象是关于 y轴对称的，所以只要先把 y轴右边的图象保留，y轴左边

的图象删去，再将 y轴右边部分关于 y轴对称得 y轴左边图象，就得到了 y＝f(|x|)的图象．

5．与指数函数复合的函数单调性

(1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；

二是 f(x)的单调性．它由两个函数 y ＝ a u

，

＝

(

)

复合而成．

(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数 y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：

u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]

增增增

增减减

减增减

减减增

(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y＝f(u)，u＝g(x)，

通过考查 f(u)和g(x)的单调性，求出 y＝f[g(x)]的单调性．

题型一指数函数的图象变换

1．利用函数 f(x)＝x的图象，作出下列各函数的图象：

(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．

[解析]作出 f(x)＝x的图象，如图所示：

(1)f(x－1)的图象：需将 f(x)的图象向右平移 1个单位长度得 f(x－1)的图象，如下图(1)．

(2)－f(x)的图象：作 f(x)的图象关于 x轴对称的图象得－f(x)的图象，如下图(2)．

(3)f(－x)的图象：作 f(x)的图象关于 y轴对称的图象得 f(－x)的图象，如下图(3)．

2．画出函数 y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．

[解析]y＝2|x－1|＝

其图象是由两部分组成的：一是把 y＝2x的图象向右平移 1个单位长度，取 x≥1的部分；

二是把 y＝x的图象向右平移 1个单位长度，取 x<1 的部分，如图中实线部分所示．

由图象可知，函数有三个重要性质：

①对称性：图象的对称轴为直线 x＝1；

②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增；

③函数的值域：[1，＋∞).

题型二利用指数函数的单调性比较大小

1．下列判断正确的是(　　)

A．2.52.5>2.53B．0.82<0.83

C．π2<π D．0.90.3>0.90.5

[解析]函数 y＝0.9x在R上为减函数，所以 0.90.3>0.90.5.[答案]　D

2．已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则 a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>cB．b>a>c

C．c>b>aD．c>a>b

[解析]　∵函数 y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即 a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，

∴0.80.7<1.20.8，即 a<c.∴c>a>b.选D.

3．设 a＝40.9，b＝80.48，c＝

－1.5，则(　　)

A．c>a>b　　　　　 B．b>a>c

C．a>b>c D．a>c>b

[解析]a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝－1.5＝21.5，因为函数 y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.

5>1.44，

所以 21.8>21.5>21.44，即a>c>b.

4．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则 a，b，c的大小关系是________．

[解析]因为－1<x<0，所以由指数函数图象和性质可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因为 0.5x<0.

2x，所以 b<a<c.

5．比较下列各组数的大小：

(1)0.7－0.3 与0.7－0.4；(2)2.51.4 与1.21.4；(3)1.90.4 与0.92.4.

[解析] (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.

(2)在同一坐标系中作出函数 y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知 2.51.4>1.21.4.

(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.

6．比较下列各题中的两个值的大小．

(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.

[解析] (1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，

又∵0.8－0.2＝1.250.2∴0.8－0.1<1.250.2.

(2)∵0<<1，∴函数 y＝x在R上是减函数．又∵－π<0，∴－π>0＝1，即－π>1.

7．比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5 和1.53.2；(2)0.6－1.2 和0.6－1.5；(3)1.70.2 和0.92.1；(4)a1.1 与a0.3(a>0 且a≠1)．

[解析] (1)1.52.5,1.53.2 可看作函数 y＝1.5x的两个函数值，由于底数 1.5>1，所以函数 y＝1.5x在

R上是增函数，因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2.

(2)0.6－1.2,0.6－1.5 可看作函数 y＝0.6x的两个函数值，

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