《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题32 指数函数的概念、图象与性质(解析版)

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专题 32 指数函数的概念、图象与性质

1．指数函数的定义

一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R.

温馨提示：指数函数解析式的 3个特征：

(1)底数 a为大于 0且不等于 1的常数．

(2)自变量 x的位置在指数上，且 x的系数是 1.

(3)ax的系数是 1.

2．指数函数的图象和性质

a的范围 a＞1 0＜a＜1

图象

性

质

定义域 R

值域 (0 ，＋ ∞ )

过定点 (0,1)，即当 x＝0时，y＝1

单调性在R上是增函数在 R上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

对称性函数 y＝ax与y＝a－x的图象关于 y

轴对称

3．新知拓展

(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数

越大，函数图象越靠近 y轴．

当a>b>1 时，①若 x>0，则 ax>bx>1；②若 x<0，则 1>bx>ax>0.

当1>a>b>0 时，①若 x>0，则 1>ax>bx>0；②若 x<0，则 bx>ax>1.

(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在 x轴上方．

(3)当a>1 时，x→－∞，y→0；当 0<a<1 时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x

趋近于正无穷大”)

题型一指数函数的概念

1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－3)x B．y＝－3x C． y＝3x－1 D．y＝x

[解析]由指数函数的定义知 a>0 且a≠1，故选 D.

2．下列函数一定是指数函数的是(　　)

A．y＝2x＋1　　　 B．y＝x3

C．y＝3·2x D．y＝3－x

[解析]由指数函数的定义可知 D正确．

3．下列函数中，指数函数的个数为(　　)

①y＝x－1；② y＝ax(a>0，且 a≠1)；③ y＝1x；④ y＝2x－1.

A．0个B．1个

C．3个D．4个

[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案]　B

4．下列函数：

①y＝2·3x；② y＝3x＋1；③ y＝3x；④ y＝x3.

其中，指数函数的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]形如“y＝ax(a>0，且 a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选 B.

5．下列函数中，是指数函数的个数是(　　)

①y＝(－8)x；② y＝2x2－1；③ y＝ax；④ y＝2·3x.

A．1　　　　 B．2

C．3 D．0

[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；

②中指数不是自变量 x，而是 x的函数，所以不是指数函数；

③中底数 a，只有规定 a>0 且a≠1时，才是指数函数；

④中 3x前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数，故选 D.

6．指出下列哪些是指数函数．

(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；

(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x.

[解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数

x不是常数．

它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．

7．已知函数 f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数 a的取值范围是________．

[解析]由题意可知解得 a>，且a≠1，

所以实数 a的取值范围是∪(1，＋∞)．

8．函数 y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)

A．a＝1或a＝3 B．a＝1

C．a＝3 D．a>0 且a≠1

[解析]由指数函数的概念可知，得 a＝3.

9．函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且 a≠1)是指数函数，则 m＝________.

[解析]∵函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得 m＝0或1.

10．若函数 y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则 a的值是(　　)

A．4　　　　 B．1或3

C．3 D．1

[解析]由题意得解得 a＝3，故选 C.

11．若函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则 a＝________.

[解析]由指数函数的定义得解得 a＝1.

12．指数函数 f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则 f(－3)的值是________．

[解析]由题意知 4＝a2，所以 a＝2，因此 f(x)＝2x，故 f(－3)＝2－3＝.

13．已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，且 a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则 f(－2)的值为________．

[解析]由已知得解得

所以 f(x)＝x＋3，所以 f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.

14．已知函数 f(x)为指数函数，且 f＝，则 f(－2)＝________.

[解析]设 f(x)＝ax(a>0 且a≠1)，由f＝得 a－＝，所以 a＝3，又f(－2)＝a－2，

所以 f(－2)＝3－2＝.

15．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝9，则 f(－2)＝________，f(1)＝________.

[解析]设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即 f(x)＝3x.

∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.

16．若点(a,27)在函数 y＝()x的图象上，则的值为(　　)

A. B．1

C．2 D．0

[解析]选 A　点(a,27)在函数 y＝()x的图象上，∴27＝()a，

即33＝3，∴＝3，解得 a＝6，∴＝.故选 A.

17．已知函数 f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则 a＝________，若 g(x)＝4－

x－2，

且g(x)＝f(x)，则 x＝________.

[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以－a＝2，所以 a＝1，所以 f(x)＝x，

g(x)＝f(x)可变形为 4－x－2－x－2＝0，解得 2－x＝2，所以 x＝－1.

18．已知 f(x)＝2x＋，若 f(a)＝5，则 f(2a)＝________.

[解析]因为 f(x)＝2x＋，f(a)＝5，则 f(a)＝2a＋＝5.

所以 f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋2＝2－2＝23.

19．若 f(x)满足对任意的实数 a，b都有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　)

A．1010 B．2020 C．2019 D．1009

[解析]不妨设 f(x)＝2x，则＝＝…＝＝2，所以原式＝1010×2＝2020.

题型二指数函数的图象及其应用

1．y＝x的图象可能是(　　)

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