《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题30 根式(解析版)

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专题 30 根式

1．根式及相关概念

(1)a的n次方根定义：如果 xn＝a，那么 x叫做 a的n次方根，其中 n>1，且 n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

n的奇偶性 a的n次方根的表示符

号a的取值范围

n为奇数 R

n为偶数 ±[0，＋∞)

(3)根式：式子叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质(n>1，且n∈N*)

(1)n为奇数时，＝a.

(2)n为偶数时，＝|a|＝

(3)＝0.

(4)负数没有偶次方根．

题型一

n次方根的概念与意义问题

1．16 的平方根为________，－27 的5次方根为________．

[解析]　∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的5次方根为.

2．81 的4次方根是________．

[解析]∵(±3)4＝81，∴81 的4次方根为±3.

3．若 81 的平方根为 a，－8的立方根为 b，则 a＋b＝________.

[解析]因为 81 的平方根为±9，所以 a＝±9.又因为－8的立方根为 b，所以 b＝－2，

所以 a＋b＝－11 或a＋b＝7.

4．(1)27 的立方根是________．(2)已知 x6＝2 019，则 x＝________.

(3)若有意义，则实数 x的取值范围为________．

[解析] (1)27 的立方根是 3.

(2)因为 x6＝2 019，所以 x＝±.

(3)要使有意义，则需要 x＋3≥0，即x≥－3.

所以实数 x的取值范围是[－3，＋∞)．]

5．若有意义，则实数 x的取值范围是________．

[解析]要使有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2.因此实数 x的取值范围是[2，＋∞)．

6．以下说法正确的是(　　)

A．正数的 n次方根是正数 B．负数的 n次方根是负数

C．0的n次方根是 0(n∈N*) D．a的n次方根是

[解析]当n为偶数时，正数的 n次方根为一正一负，故 A错误；当 n为偶数时，负数的 n次

方根无意义，

故B错误；当 n∈N*时，0的n次方根为 0，故 C正确；当 n为偶数，a<0 时，无意义，故

D错误．

7．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)

A. B.

C. D.

[解析]当 m<0 时，没有意义，其余各式均有意义．

8．若＋(a－4)0有意义，则 a的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)

[解析]由题意可知∴a≥2且a≠4.

9．已知 m10＝2，则 m等于(　　)

A. B．－

C. D．±

[解析]∵m10＝2，∴m是2的10 次方根．∴m＝±.

10．已知 x5＝6，则 x等于(　　)

A. B.

C．－ D．±

[解析]　由 x5＝6可知 x＝.[答案]　B

11．已知 a∈R，n∈N*，给出下列 4个式子：

①；②；③；④，其中无意义的有(　　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　 D．0个

[解析]①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为 5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；

④中根指数为 9，有意义．选A.

12．下列说法正确的个数是(　　)

①16 的4次方根是 2；②的运算结果是±2；③当 n为大于 1的奇数时，对任意 a∈R都

有意义；④当 n为大于 1的偶数时，只有当 a≥0时才有意义．

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]①16 的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.

13．下列等式中成立的个数是(　　)

①()n＝a(n∈N*且n>1)；②＝a(n为大于 1的奇数)；③＝|a|＝(n为大于零的偶数)．

A．0个　　　　 B．1个

C．2个 D．3个

[解析]由 n次方根的定义可知①②③均正确．

题型二利用根式的性质化简求值

1.的运算结果是(　　)

A．3　　　　　 B．－3

C．±3 D．±

[解析]＝＝3.

2．下列各式正确的是(　　)

A.＝ B.＝a C.＝ D．a0＝1

[解析]　＝＝，＝|a|，a0＝1，条件为 a≠0.故A、B、D错．

3．下列各式正确的是(　　)

A.＝－3 B.＝a

C.＝2 D.＝2

[解析]由于＝3，＝|a|, ＝－2，故 A、B、D错误．

4．＋的值是(　　)

A．0 B．2(a－b)

C．0或2(a－b) D．a－b

[解析]　若 a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若 a<b，则原式＝b－a＋a－b＝0，故选

5．下列式子中成立的是(　　)

A．a＝B．a＝－

C．a＝－ D．a＝

[解析]　要使 a有意义，则 a≤0，故 a＝－(－a)＝－＝－，故选 C.

6．化简()2＋＋的结果是(　　)

A．1－aB．2(1－a)

C．a－1 D．2(a－1)

[解析]　∵有意义，∴a－1≥0，即 a≥1.

∴()2＋＋＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选 C.

7．若＋＝0，则 x2 018＋y2 019＝________.

[解析]∵≥0，≥0，且＋＝0，

∴即∴x2 018＋y2 019＝1－1＝0.

8．化简下列各式：

(1) ；(2) ；(3) ；(4) .

[解析] (1) ＝－2. (2) ＝|－10|＝10.

(3) ＝＝3. (4) ＝|a－b|＝

9．计算下列各式的值：

(1) ；(2) ；(3) ＋；(4) .

[解析](1) ＝－4. (2) ＝|3－π|＝π－3.

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