《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》专题05函数的概念、性质及应用（16个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】（原卷版）

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专题 05 函数的概念、性质及应用（16 个考
点）
【知识梳理+解题方法】
一．函数的概念及其构成要素
【知识点的认识】初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量 x和y，如果对于每一个 x值，y都有唯一的值和它对
应，那么就说 y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合中 A
任意一个数 x，在集合中 B都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称为 A→B从集合 A
到集合 B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做
函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的
值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示 x对应的函数值，绝对不能理解为 f与
x的乘积．在不同的函数中 f的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号 f（x）
表示外，还可用 g（x），F（x）等表示．
【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．
【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考
中函数命题比较多，以小题与大题出现，
可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联
系常常是压轴题，难度比较大．
二．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察
两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以
函数是否为相同函数命题比较少．
三．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于 1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定
义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域
的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须
为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是
同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）
抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样
的；②函数 g（x）中的自变量是 x，所以求 g（x）的定义域应求 g（x）中的 x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
四．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换
元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生
具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数
的压轴题中出现，是常考题型．
五．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数
的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，
函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定
系数法．
例1：已知曲线 y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求 l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当 x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以 k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y3﹣＝4×（x1﹣），即4x﹣y1﹣＝0．
故l的方程为：4x﹣y1﹣＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率
就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的
一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数 y＝f（x）与 y＝ex+1 的图象关于直线 y＝x对称，则 f（x）＝
解：函数 y＝ex+1 的图象与函数 y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，
所以 f（x）是 y＝ex+1 的反函数，
x＝lny 1﹣（y＞0）
即f（x）＝lnx 1﹣，（x＞0）
故答案为：lnx 1﹣，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于
y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是
基础题．
六．函数的表示方法
【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法
叫列表法．
2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的
关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．
3、解析法：用解析式把把 x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．
图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质．
【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三
种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函
数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，
根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐
标系中描点，形成该函数的图象．
【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般
是基础题．
七．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下 3个步骤 （1）列表； （2）描点；
（3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应
法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象
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