《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》专题04幂函数、指数函数与对数函数（17个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】（解析版）

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专题 04 幂函数、指数函数与对数函数（17
个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【知识点归纳】
幂函数的定义：一般地，函数 y＝xa叫做幂函数，其中 x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当 a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果 a为负数，则 x肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据 q的奇偶性来确
定，即如果 q为偶数，则 x不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0的所有实数；
2．如果同时 q为奇数，则函数的定义域为不等于 0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在 x大于 0时，函数的值域总是大于 0的实数．
2．在 x小于 0时，则只有同时 q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有 a为正数，0才进入函数的值域．
由于 x大于 0是对 a的任意取值都有意义的．
二．幂函数的图象
【知识点归纳】
三．幂函数的性质
【知识点归纳】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当 a＞0时，幂函数 y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随 x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当 a＜0时，幂函数 y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随 x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当 x从右趋于原点时，图象在 y轴上方趋向于原点时，图象在 y轴右方
无限逼近 y轴，当 x趋于+∞时，图象在 x轴上方无限地逼近 x轴．
（3）当 a＝0时，幂函数 y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线 y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【知识点归纳】
1、幂函数定义：
一般地，函数 y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中 x是自变量，a是常数．
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是 1；
（4）形式都是 y＝xa，其中 a是常数．
2、幂函数与指数函数的对比
式子 名称
a x y
指数函
数：y＝ax
底数 指数 幂值
幂函数：y
＝xa
指数 底数 幂值
3、五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x1﹣
y＝xy＝x2y＝x3
y＝
y＝x1﹣
定义域 R R R [0，+∞）{x|x≠0}
值域 R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，+∞）
时，增
增 增 x∈（0，+∞）
时，减
x∈（﹣∞，0]
时，减
x∈（﹣
∞，0）时，
减
公共点 （1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
4、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果 a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果 a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当 a为奇数时，幂函数为奇函数，当 a为偶数时，幂函数为偶函数．
五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【知识点归纳】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数 y＝ax（a＞0，且 a≠1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且 a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为 a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集
R．
②规定底数 a大于零且不等于 1的理由：
如果 a＝0，当 x＞0时，ax恒等于 0；当 x≤0 时，ax无意义；
如果 a＜0，比如 y＝（﹣4）x，这时对于 x＝ ，x＝ 在实数范围内函数值不存在．
如果 a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0且a≠1．
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