《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》专题03幂、指数与对数（5个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 229.88KB 12 页 3知币
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专题 03 幂、指数与对数（5个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定： ＝ （a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝ ＝ （a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂没有意义
常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3 D、 ＝a
（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵ ，
∴B不正确；
∵ ，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计
算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n∈N*，且 n＞1）；
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n∈N*，且 n＞1）；
③0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
常考题型：
例1：若 a＞0，且 m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．对数的概念
【知识点的认识】
1．对数的定义
如果 ax＝N（a＞0且a≠1），那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中 a叫做
对数的底数，N叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为 a（a＞0且
a≠1）
logaN
常用对数 底数为 10 lgN
自然对数 底数为 elnN
三．指数式与对数式的互化
【知识点归纳】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底
法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝ ；（换底法）
（5）Alog x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设 t＝logax或t＝ax）（换元法）
四．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaMlog﹣aN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
五．换底公式的应用
【知识点归纳】
换底公式及换底性质：
（1）logaN＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．
（2）logab＝ ，
（3）logab•logbc＝logac，
（4）loganbm＝logab．
【专题过关】
一．有理数指数幂及根式（共 8小题）
1．（2022•杨浦区校级开学）使等式 成立的 x的取值范围是 　 x ≤3 　 ．
【分析】将已知等式化简，即可求解 x的取值范围．
【解答】解： 可化为 ＝3﹣x，即|x3|﹣＝3﹣x，
所以 3﹣x≥0，所以 x≤3，
即使等式 成立的 x的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查根式的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
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