《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》专题02等式与不等式（8个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】（解析版）

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专题 02 等式与不等式（8个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数 a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且 n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且 n＞1）．
二．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如 2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如 与
就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意
味着它是个式子，比方说 a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的 a，b，有 a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做
差比较法的依据．
②如果 a＞b，那么 b＜a；如果 a＜b，那么 b＞a．
③如果 a＞b，且 b＞c，那么 a＞c；如果 a＞b，那么 a+c＞b+c．
推论：如果 a＞b，且 c＞d，那么 a+c＞b+d．
④如果 a＞b，且 c＞0，那么 ac＞bc；如果 c＜0，那么 ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+ ≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式 sinx≥的解集为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数
联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以
周期就是最后的解．
例2：当 ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由 ab＞0，知 ＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即 ；
若 ，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接
举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
三．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的
几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为
ab≤（ ）2或者 a+b≥2 ．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则 ． B： ． C： ． D：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知 A、B、D
均满足条件．
对于 C选项中 sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者 sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B
分子其实可以写成 x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一
个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当 0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当 x＝0时，y＝0，
当x≠0 时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表
示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加
而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
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