《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》专题01集合与逻辑（15个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】（解析版）

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专题 01 集合与逻辑（15 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．集合的含义
【知识点的认识】
1、集合的含义：
集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称
集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．
2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语
言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数
轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．
（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法
表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确
抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思
维和逻辑推理能力．）
用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．
【典型例题分析】
题型一：判断能否构成集合
典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于 5的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式 2x+1＞7的整数解．
分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．
解 答 ： （ 1） 小 于 5的 自 然 数 为 0，1，2，3，4， 元 素 确 定 ， 所 以能 构 成 集 合 ．为
{0，1，2，3，4}．
（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．
（3）由 2x+1＞7得x＞3，因为 x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以
用描述法表示为{x|x＞3，且 x∈Z}．
点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成
集合的条件，比较基础．
典例 2：下列集合中表示同一集合的是（　　）
A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}
分析：利用集合的三个性质及其定义，对 A、B、C、D四个选项进行一一判断．
解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不
是同一集合，故 A错误；
B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线 x+y
＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故 B错误；
C、M＝{（4，5）} 集合 M的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合 N的元素是点
（5，4），故 C错误；
D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合 M，N表示同一集合，故 D正确；
故选 D．
点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序
性，此题是一道基础题．
题型二：集合表示的含义
典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说
说它们各自代表的含义．
分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集．
解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且 A＝R；
B是数集，是由函数的值域构成，且 B＝{y|y≥1}；
C为点集，是由抛物线 y＝x2+1 上的点构成．
点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理
解集合元素的构成．
【解题方法点拨】
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法
表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．
二．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般
用小写字母 a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与
不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素
属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这
个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是
不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例 1：已知集合 A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k2﹣（k∈Z）不属于 A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断 3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于 A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛
盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝221﹣2，3∈A；
（2）设4k2﹣∈A，则存在 m，n∈Z，使4k2﹣＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当 m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为 4的倍数，与 4k2﹣不是 4的倍数矛盾．
2、当 m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与 4k2﹣是偶数矛盾．
综上4k2﹣∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例 2：已知集合 A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过 3是集合 A的元素，直接利用 a+2 与2a2+a＝3，求出 a的值，验证集合 A中元
素不重复即可．
解答：解：因为 3∈A，所以 a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时 A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或 ，…（10 分）
由 ，得 ，成立…（12 分）
故…（14 分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于
解决集合问题．
三．集合的确定性、互异性、无序性
【知识点的认识】
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元
素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与 2接近的
数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．
例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
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