《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》上海高一上学期期中【压轴42题专练】（解析版）

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上海高一上学期期中【压轴 42 题专练】
一、单选题
1．（2020·上海中学高一期中）已知非空集合 满足以下两个条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，
则有序集合对 的个数为8（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件：A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素，分别讨
论集合 A、B 中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．
【详解】根据条件：A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素
1、当集合 A 只有一个元素时，集合 B 中有 5 个元素， 且 ，此时仅有一种结果
， ；
2、当集合 A 有两个元素时，集合 B 中有 4 个元素， 且 ，此时集合 A 中必有一个
元素为 4，集合 B 中必有一个元素为 2，故有如下可能结果：
（1） ， ；（2） ， ；（3） ，
；（4） ， ．共计 4 种可能．
3、可以推测集合 A 中不可能有 3 个元素；
4、当集合 A 中的 4 个元素时，集合 B 中的 2 个元素，此情况与 2 情况相同，只需 A、B 互
换即可．共计 4 种可能．
5、当集合 A 中的 5 个元素时，集合 B 中的 1 个元素，此情况与 1 情况相同，只需 A、B 互
换即可．共 1 种可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为 10．答案选 A．
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知 ， ，若
，则对此不等式描述正
确的是
A．若 ，则至少存在一个以 为边长的等边三角形
B．若 ，则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形
C．若 ，则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形
D．若 ，则对满足不等式的 不存在以 为边长的直角三角形
【答案】B
【详解】本题可用排除法，由 ，
对于 ，若 ，可得 ，故不存在这样的 错误，排除 ；
对于 时， 成立，而以 为边的三角形不
存在， 错误，排除 ；对于 时， 成立，
存在以 为边的三角形为直角三角形，故 错误，排除 故选 B.
【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题
设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，
这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，
排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度
和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验
证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函
数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.
3．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数 ，关于 的不等式
的解集为 ，则实数
a
、
b
、 、 从小到大的排列是
(8888)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知 ，再利用中间量 ，根据 与 之间的关系求出的取
值范围，即可判断
a
、
b
、 、 之间的关系.
【详解】由题可得： ， .由 ， ，设 ，则
.所以 ，所以 ，
.又 ，所以 ，所以 .故 ， .又 ，故 .
故选：A.
4．（2021·上海·高一期中）已知 的面积为 ， ，则
的最小值为（8888）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等
式求最值即可.
【详解】解： ，又 ，
= = ，当且仅当 时，等号成
立.
故选：B.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算
能力和转化能力，属于中档题.
5．（2020·上海市新川中学高一期中）定义区间 、 、 、 的长度均为
，已知实数 ，则满足 的 构成的区间的长度之和为
（8888）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】将不等式 转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得
构成的区间的长度和.
【详解】原不等式 可转化为 ①，对于
，其判别式 ，故其必有两不相等的实数根，
设为 ，由求根公式得 ， .
下证 ：
构造函数 ，其两个零点为 ，且 .而
，所以 ，由于 ，且
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