《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》上海高一上学期期末【易错41题考点专练】（解析版）

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上海高一上学期期末【易错 41 题考点专
练】
一．选择题（共 9小题）
1．（2021 秋•长宁区期末）函数 的最小值为（　　）
A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．
【分析】对原函数求导，然后求出其极值点，结合单调性求出原函数的最小值．
【解答】解：因为函数 ，
故 ，易知当 x∈（0，10）时，lgx 1﹣＜0，x10﹣＜0，即此时 y′＜0；
当x＞10 时，lgx 1﹣＞0，x10﹣＞0，故此时 y′＞0，
即原函数在（0，10）上单调递减，在（10，+∞）上单调递增，
故ymin＝y|x＝10＝0．
故选：C．
【点评】本题考查导数在研究函数最值时的应用，属于中档题．
2．（2021 秋•普陀区校级期末）若不等式|x4| |﹣ ﹣ x3|≤﹣a对一切实数 x∈R恒成立，则实数
a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
【分析】此题为恒成立问题，若不等式|x4| |﹣ ﹣ x3|≤﹣a对一切实数 x∈R恒成立，则 a一定
大于等于|x4| |﹣ ﹣ x3|﹣的最大值，再把|x4| |﹣ ﹣ x3|﹣看作函数解析式，利用图象求出值域，
找到最大值即可．
【解答】解：设 f（x）＝|x4| |﹣ ﹣ x3|﹣，去绝对值符号，
得f（x）＝ ，
画出图象，如右图，根据图象，可知函数的值域为[0，1]
∵不等式|x4| |﹣ ﹣ x3|≤﹣a对一切实数 x∈R恒成立，
∴a大于等于 f（x）的最大值，即 a≥1
故选：D．
【点评】本题主要考查了恒成立问题的解法，其中用到了图象法求函数的值域．
3．（2019 秋•青浦区期末）已知函数 f（x）＝ 若 f（x0）＞3，则 x0的取
值范围是（　　）
A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8
C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8
【分析】通过对函数 f（x）在不同范围内的解析式，得关于 x0的不等式，从而可解得 x0的
取值范围．
【解答】解：①当x≤0 时，f（x0）＝ ＞3，
∴x0+1＞1，
∴x0＞0 这与 x≤0 相矛盾，
∴x∈∅．
②当x＞0时，f（x0）＝log2x0＞3，
∴x0＞8
综上：x0＞8
故选：A．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是
个基础题．
4．（2019 秋•浦东新区校级期末）函数 y＝ ﹣1（x≤0）的反函数是（　　）
A．y＝ （x≥ 1﹣）B．y＝﹣ （x≥ 1﹣）
C．y＝ （x≥0）D．y＝﹣ （x≥0）
【分析】从函数 y＝ ﹣1（x≤0）中解出 x＝ ，并求出函数值域 y≥ 1﹣，将 x
与y互换位置后即为反函数同时标明定义域．
【解答】解：由 y＝ ﹣1（x≤0）得 y+1＝ ，
所以 y+1≥0，且（y+1）3＝x2，
因为 x≤0，所以 x＝﹣ 且 y≥ 1﹣，
所以反函数为 y＝﹣ （x≥ 1﹣）
故选：B．
【点评】本题主要考查求反函数这一知识点，在求解过程中兼顾了对根式与指数幂的简单
计算问题的考查，在 x开方时容易忽略 x≤0 这个条件，虽属于基础题，但也极易马虎．
5．（2019 秋•杨浦区校级期末）设函数 f（x）的定义域为 R，有下列三个命题：
①若存在常数 M，使得对任意 x∈R，有 f（x）≤M，则 M是函数 f（x）的最大值；
②若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f（x）＜f（x0），则 f（x0）是函数 f（x）
的最大值；
③若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f（x）≤f（x0），则 f（x0）是函数 f（x）的最大值．
这些命题中，真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是
函数的最大值判断出各命题的真假．
【解答】解：①错．原因：M不一定是函数值，可能“＝”不能取到．
因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最
大值
所以②③对
故选：C．
【点评】本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．
6．（2020 秋•普陀区校级期末）设函数 f（x）的定义域为 D，若函数 f（x）满足条件：存
在[a，b]⊆D，使 f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称 f（x）为“倍缩函数”，若函数
f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数 t的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．（﹣∞， ） C．（0，] D．（﹣∞， ]
【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于 0，求出 t的取
值范围．
【解答】解：∵函数 f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使 f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴ ，
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