《高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）》上海高一上学期期末【压轴54题考点专练】（解析版）

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上海高一上学期期末【压轴 54 题考点专
练】
一、单选题
1．（2021·上海市控江中学高一期末）设 ，则 取
得最小值时， 的值为（）
A．B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】转化条件为原式 ，结合基本不等式即可得
解.
【详解】
，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数 ，若函数 在 上是严
格减函数，则实数 a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件确定函数 在 上单调递减，再结合分段函数在 R上
单调的性质列式计算作答.
【详解】因函数 在 R上是严格减函数，则函数 在 上
单调递减，
并且有 ，于是得 ，解得： ，
所以实数 a的取值范围是 .
故选：D
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注
意上、下段间端点值间的大小关系；
二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
3．（2020·上海·曹杨二中高一期末）已知集合 ，
若 且对任意的 ， 均有 ，则 中元素个数的最大值
为（）
A．10 B．19 C．30 D．39
【答案】D
【解析】根据 ，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要
使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.
【详解】由题：集合 ，若 且对任意的
， 均有 ，作如下等价转化：
考虑 ， 是平面内的满足题目条件的任意两点，
“ ”等价于“ 或 ”，
即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，
要使集合中这样的点最多，就是直线 两条直线上的整数点，共 39 个，
（当然也可考虑直线 两条直线上的整数点，共 39 个）
故选：D
【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键
在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨
论极限情况，可以分类列举观察规律.
4．（2022·上海闵行·高一期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，
不等式 的解集是 ，有下列两个结论：①存在 ，使 ；
②对任意的 ，都有 ；则（）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】D
【分析】由已知 得 ，根据 ，若 ，则 ，结合
函数的图象，可判断①
由 ，转化为对任意的 ，有 ，求得 ，
只需作差比较 与 的大小可判断②.
【详解】由已知 得 ，所以不等式 的解集是 ，
不等式 的解集是 ，所以 ，
若 ，则 ，结合函数的图象， 不可能是 ，
故①错误；
因为 ，
则对任意的 ，有 ，解得 ，
即 ，
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