《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》10.3平率与概率（讲义+例题+小练）（原卷版）

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10.3 平率与概率（讲义+例题+小练）

知识点一　频率的稳定性

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验

次数 n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件

A发生的概率

P ( A ) ，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率 fn(A)估

计概率 P(A).

例1：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满 200

元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为 .那么以下理解正确的是（）

A．某顾客抽奖 10 次，一定能中奖 1次

B．某顾客抽奖 10 次，可能 1次也没中奖

C．某顾客消费 210 元，一定不能中奖

D．某顾客消费 1000 元，至少能中奖 1次

2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

抽取台数 50 100 200 300 500 1 000

优等品数 40 92 192 285 478 954

①根据表中数据分别计算 6次试验中抽到优等品的频率；

②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？

3.一个地区从某年起 4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：

时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内

新生婴儿数 n5 544 9 607 13 520 17 190

男婴数 m2 883 4 970 6 994 8 892

(1)计算男婴出生的频率(保留 4位小数)；

(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？

举一反三

1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投 2次，则两人投中次数不等

的概率是（）

A．0.6076 B．0.7516 C．0.3924 D．0.2484

2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有 99 个白球，1个黑球，乙箱中有 1个白球，99

个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一

个箱子中取出的？

3.　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定

数量的天鹅，如 200 只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适

当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，

如150 只.查看其中有记号的天鹅，设有 20 只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅

的数量.

知识点二　随机模拟

用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数

模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为

蒙特卡洛方法.

随机数与伪随机数

(1) 随机数

要产生 1 ～ n ( n N * ) ∈之间的随机整数，把 n 个大小形状相同的小球分别标上 1 ， 2

， 3 ， … ， n ，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数

就称为随机数．

(2) 伪随机数

计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性 ( 周期很长 ) ，

它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我

们称它们为伪随机数．

整数值随机数的产生及应用

(1) 产生整数值随机数的方法

用计算器的随机函数 RANDI( a ， b ) 或计算机的随机函数 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以产

生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的 Excel 软件产生随机数．

用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．

(2) 整数值的随机数的应用

利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概

率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．

例2：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字

1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．

小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，

每1组中有 4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 21 组随机数：

1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413

1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234

由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）

A．B．C．D．

3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击 4次恰好

命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生 0到9之间取整数值的随机数，

用0，1，2表示没有击中，用 3，4，5，6，7，8，9表示击中，以 4个随机数为一组，代

表射击 4次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：

9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，

0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．

根据以上数据，则可估计该运动员射击 4次恰有3次命中的概率为（）．

A．B．C．D．

举一反三

1.总体由编号为 01，02，…，29，30 的30 个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，

选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则

选出来的第6个个体的编号为（）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A．08 B．07 C．04 D．01

【答案】C

2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，

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