《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》10.2事件的相互独立性（讲义+例题+小练）（解析版）

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10.2 事件的相互独立性（讲义+例题+小练）
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若 P(AB)＝P ( A ) P ( B ) ，则称事件 A与事件 B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件 A与B相互独立，那么 A与B，A与B，A与B也都相互独立．
注： (1)必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
(2)事件 A，B相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)．
例：1．已知 A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （）
A．0.9 B．0.12 C．0.18 D．0.7
【答案】C
【解析】
【分析】
由对立事件概率公式求出 ，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
又A，B是相互独立事件，且 ，
所以 ，
故选：C.
2．从甲地到乙地要经过 3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红
灯的概率分别为 ， ， ，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到 2个红灯的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到 2次红灯的概率：
．
故选：B．
3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A是“第一枚为正面”，事件 B是“第二枚
为正面”，事件 C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序
号)
①A，B；② A，C；③ B，C.
解 析 ： 根 据 事 件 相 互 独 立 的 定 义 判 断 ， 只 要 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝
P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝
0.5 ，P(C)＝0.5 ，P(AB)＝0.25 ，P(AC)＝0.25 ，P(BC)＝0.25. 可以验证 P(AB)＝
P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件 A与
B相互独立，事件 B与C相互独立，事件 A与C相互独立．
答案：①②③
4．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为 0.9，
数学为 0.8，英语为 0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A，B，C，则 A，B，C
两两互相独立，
且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用AB
C
表示，
P(AB
C
)＝P(A)P(B)P(
C
)
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用
(ABC)∪(ABC)∪(AB
C
)表示．
由于事件ABC，ABC 和AB
C
两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为 P(ABC)＋P(ABC)＋P(AB
C
)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(
C
)
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329.
举一反三：
1．某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这
三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三
个社团考核的概率依次为 、 、 ，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都
能通过的概率为 ，至少通过一个社团考核的概率为 ，则 （）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式，列出方程组，即可求得
的值.
【详解】
因为三个社团考核他都能通过的概率为 ，至少通过一个社团考核的概率为 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选: D.
2．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为 0.3，乙的命中率为 0.6，则目标命中的概率是（
）
A．0.9 B．0.72 C．0.18 D．0.42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式计算可得；
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