《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》8.3简单几何体的表面积与体积（讲义+例题+小练）（原卷版）

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8.3 简单几何体的表面积与体积（讲义+例题+小练）

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积体积

圆柱 S侧＝2π rh V＝Sh＝π r 2

圆锥 S侧＝π rl V＝Sh＝πr2h＝πr2

圆台 S侧＝π( r 1＋ r 2) l

V＝(S上＋S下＋)h

＝π(r＋r＋r1r2)h

直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh

正棱锥 S侧＝Ch′V＝Sh

正棱台 S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h

球S球面＝4π R 2

V＝πR3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧

面积与底面面积之和．

[难点正本　疑点清源]

1．几何体的侧面积和全面积

几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对

侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧

面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，

则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥

的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．

2．等积法

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)

通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别

是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱

锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 0.85m，底的边长是 1.5m，制造

这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？

（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高 PO 的中点且平行于底面的平面所截，得到正六

棱台和较小的棱锥 .

(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；

(2)若大棱锥 PO 的侧棱长为 12cm，小棱锥的底面边长为 4cm，求截得的棱台的侧面面积和

表面积.

举一反三

1．已知四面体 SABC 的棱长为 a，各面均为等边三角形，求它的表面积．

2．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为 9和15，高是 5，求该直四楼柱的侧面积.

(本题需自己作图并指明长度，无图不得分)

题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积

例2如图为正四棱锥 P - ABCD，PO⊥平面 ABCD，BC = 3，PO = 2.

(1)求正四棱锥 P - ABCD 的体积；

(2)求正四棱锥 P - ABCD 的表面积.

举一反三

1．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂

直于底面，，，，求该几何体的体积.

2．某人买了一罐容积为 V L，高为 a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落

地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为 b

m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的

方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？

题型三：圆柱、圆锥、圆台台的侧面积与表面积

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