《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》8.3简单几何体的表面积与体积（讲义+例题+小练）（解析版）

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8.3 简单几何体的表面积与体积（讲义+例题+小练）

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积体积

圆柱 S侧＝2π rh V＝Sh＝π r 2

圆锥 S侧＝π rl V＝Sh＝πr2h＝πr2

圆台 S侧＝π( r 1＋ r 2) l

V＝(S上＋S下＋)h

＝π(r＋r＋r1r2)h

直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh

正棱锥 S侧＝Ch′V＝Sh

正棱台 S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h

球S球面＝4π R 2

V＝πR3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧

面积与底面面积之和．

[难点正本　疑点清源]

1．几何体的侧面积和全面积

几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对

侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧

面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，

则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥

的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．

2．等积法

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)

通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别

是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱

锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 0.85m，底的边长是 1.5m，制造

这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？

【答案】3.4

【解析】

【分析】

先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．

【详解】

如图，连接 SE：

表示塔的顶点，表示底面的中心，则是高，设是斜高，

在中，根据勾股定理得，

所以，

答：制造这种塔顶需要铁板约．

（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高 PO 的中点且平行于底面的平面所截，得到正六

棱台和较小的棱锥 .

(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；

(2)若大棱锥 PO 的侧棱长为 12cm，小棱锥的底面边长为 4cm，求截得的棱台的侧面面积和

表面积.

【答案】(1) ；

(2)侧面积；表面积 .

【解析】

【分析】

（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可

分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之

比；

（2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）

的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积.

(1)

设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，

所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，

棱台的侧面积为，

所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比 .

(2)

因为小棱锥的底面边长为 4cm，所以大棱锥的底面边长为 8cm，

因为大棱锥的侧棱长为 12cm，所以大棱锥的斜高为 cm，

所以大棱锥的侧面积为，

所以棱台的侧面积为，

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