《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》7.3复数的三角表示（讲义+例题+小练）（原卷版）

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7.3 复数的三角表示（讲义+例题+小练）
一．复数的三角表示式
　　 (1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正
半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫
做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，
叫做辐角的主值，记作 argZ ．
　　说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任
意两个相差 2π 的整数倍．
　　 (2) 复数的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的
三角形式，其中 ．
说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的
形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
例1.(1)（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数 （ ， ），
则把这种形式叫做复数 z的三角形式，其中 r为复数 z的模， 为复数 z的辐角，则复数
的三角形式正确的是（）
A．B．
C．D．
(2)（2021·福建安溪·高三期中）任意复数 （ 、 ， 为虚数单位）都可以写成
的形式，其中 该形式为复数的三角形式，其中
称为复数的辐角主值.若复数 ，则 的辐角主值为（）
A．B．C．D．
举一反三
(1)．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.
A．B．
C．D．
(2)．（2021·全国·高二课时练习）复数 的辐角主值是（）
A．－40° B．310° C．50° D．130°
(3)．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若 （ 为虚数单位），则
是 的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、复数的三角形式的运算：
　设 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2
＋ isinθ 2 ) ．则
　　
例2.(1)．（2021·全国·模拟预测）设(其中 为虚数单位)，则 的共轭
复数是（　　）
A．B．
C．D．
(2)．（2021·福建·厦门双十中学模拟预测）已知复数 对应的向量为 (O为坐标原点)，
与实轴正向的夹角为 ，且复数 的模为 2，则复数 为（）
A．B．2 C．D．
举一反三
(1)．（2021·全国·模拟预测（文））瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，
他发现了欧拉公式 ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三
角函数和指数函数的关系．特别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ，
这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数的单
位1和数字 0）联系到了一起，若 表示的复数对应的点在第二象限，则 可以为
（）
A．B．C．D．
(2)．（2021·河南郑州·三模（理））1748 年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三
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