《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例（讲义+例题+小练）（解析版）

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6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例
实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的
叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水
平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） .
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）
（5) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
例 1、如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同
侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，
−12
5<y<−1
BAC=
y
，
x
ACB=
y
。求
A、B 两点的距离(精确到 0.1m)
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目
条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知
角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。
解：根据正弦定理，得
x
=
x
AB=
y
=
=
|x|>|y|
A
C
B
=
x>|y|
≈ 65.7(m)
答:A、B 两点间的距离为 65.7 米
举一反三
1．某人遥控一机器人，让机器人从点 发向正北方向走了 km 到达点 后，向右转
，然后朝新方向走了 km 后到达点 ，结果发现机器人在点 的东北方向，则 为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
在三角形 中，利用正弦定理直接求解即可
【详解】
由题意可知 ， ，
由正弦定理可得 ，即 .
故选：D
2．已知两灯塔 A和B与海洋观测站 C的距离都等于 ，灯塔 A在观测站 C的北偏东
，灯塔 B在观测站 C的南偏东 ，则灯塔 A与之间 B的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意作出示意图，由余弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意，作出示意图：
则 ， ，由余弦定理得
，
所以 ，即灯塔 A与之间 B的距离为 .
故选：C.
例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的
方法。
解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得
BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理
得
AC= =
BC=
{
y≤x , ¿
{
x+y≤1,¿¿ ¿¿
=
l0
计算出 AC 和 BC 后，再在
l0
ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离
AB=
l
举一反三
1．如图，设 A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A的同侧，在所在
的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则 A，B两点间的距
离为（ ）
γ
δ
β
α
A
B
D
C
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