《高一数学课堂抄重点讲义（人教A版2019必修第二册）》6.2.4向量的数量积（讲义+例题+小练）（原卷版）

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6.2.4 向量的数量积
一.两个向量的夹角
对于非零向量 ， ，作 ， ，则把 称为向量 ， 的
夹角.
当 时， ， 同向；当 时， ， 反向；当 时， ， 垂直.
二、平面向量的数量积
已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ叫做 a与b的数量积(或内积)，
记作 a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量 a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a与b平行的充要条件是
a·b＝±|a||b|.
例1．已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．B．C．5 D．3
举一反三
1．若 与 是相反向量，且 =3，则 等于（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
2、已知 ， ，且 与 的夹角 ，则 等于（ ）
A．B．6 C．D．
3．如果 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、平面向量数量积的几何意义
数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
例2．已知向量 ， 的夹角为 120°， ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
举一反三
已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为______．
四、平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例3.设平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
举一反三
1.已知菱形 的对角线 ，点 在另一对角线 上，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面非零向量 ，则“ ”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
五、量数量积的性质：
设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：
（1） ；
（2）当 、 同向时， ，特别地， ；
是 、 同向的充要分条件；
当 、 反向时， ， 是 、 反向的充要分条件；
当 为锐角时， ，且 、 不同向， 是 为锐角的必要不充分条件；
当 为钝角时， ，且 、 不反向； 是 为钝角的必要不充分条件.
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