《高三数学一轮复习第八章 立体几何与空间向量学案》第3讲　直线平面之间的位置关系（教师版）

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第八章 立体几何与空间向量
第 3 讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
班级__________ 姓名__________
一、基础知识
1、空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间中任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所
成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 或 互补 ．
（4）异面直线判定定理：
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2、平面：
（1）平面的概念：平面是一个描述而不定义的概念，立体几何里所说的平面是从生活中
常见的平面，如桌子的表面、黑版面、平静的水面等中抽象出来的，生活中的平面是比较平且
是有限的，而立体几何中的平面是绝对的平且是无限延展的。
（2）平面的表示：
①立体几何中通常画平行四边形来表示
平面，且当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成 45
∘
，
横边画成等于邻边的 2倍。
②平面通常用一个希腊字母表示。如平面
α
、平面
β
、
平面
γ
等；也可以用表示平面的平行四边形的两个顶点的字母
来表示，如平面
AC
等；若用三角形表示平面时，则表示成平面
ABC
。
注意：在平面几何里，凡是后引的辅助线都画成虚线，而立体几何里则不然，凡是被遮住
的线，都画成虚线，凡是不被遮住的线都画成实线，无论是题中原有的还是后引的辅助线。
3、平面的基本性质：
公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
奎屯
新疆
推理模式： ． 如图示：
或者：∵ ，∴
公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
奎屯
新疆
推理模式： 与 重合
奎屯
王新敞
新疆
或者：∵ 不共线，∴存在唯一的平面 ，使得 .
推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面
奎屯
新疆
公理 3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。
推理模式：
奎屯
王新敞
新疆
如图示：
或者：∵ ，∴
公理 4、平行与同一条直线的两条直线平行。
考点一 空间两直线的位置关系：
例1、（1）已知 a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分
别是线段 AC，BD 的中点，则MN 和a的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　　　 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：选A.若MN 与AB 平行或相交，则 MN 与AB 共面，设该平面为 α.因为 C∈直线
AM，D∈直线 BN，所以 C∈α，D∈α，所以 b⊂α.又因为 A∈α，B∈α，所以 a⊂α.这与 a，b异
面矛盾．故选 A.
（2） (2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平
面ECD⊥平面 ABCD，M是线段 ED 的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线
C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
【解析】　如图，取 CD 的中点 F，连接 EF，EB，BD，FN，因为△CDE 是正三角形，所
以EF⊥CD.设CD ＝2，则 EF ＝.因为点 N是正方形 ABCD 的中心 ， 所以 BD ＝2，NF ＝
1，BC⊥CD.因为平面 ECD⊥平面 ABCD ，所以 EF⊥平面 ABCD ，BC⊥平面 ECD ，所以
EF⊥NF，BC⊥EC，所以在 Rt△EFN 中，EN＝2，在 Rt△BCE 中，EB＝2，所以在等腰三角形
BDE 中，BM＝，所以 BM≠EN.易知 BM，EN 是相交直线．故选 B.
【答案】　B
例 2、(多选)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱 C1D1，C1C的中点，下
列说法正确的有(　　)
A．直线 AM 与CC1是相交直线
B．直线 AM 与BN 是平行直线
C．直线 BN 与MB1是异面直线
D．直线 AM 与DD1是异面直线
解析：选CD.因为点 A在平面 CDD1C1外，点 M在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面
CDD1C1内，CC1不过点 M，所以 AM 与CC1是异面直线，故 A错；取 DD1的中点 E，连接
AE(图略)，则 BN∥AE，但 AE 与AM 相交，故 B错；因为 B1与BN 都在平面 BCC1B1内，M在
平面 BCC1B1外，BN 不过点 B1，所以 BN 与MB1是异面直线，故 C正确；同理 D正确，故选
CD.
考点二 异面直线所成的角
找两条异面直线所成的角的方法—“平移线段法”：
（1）直接平移法；（2）中位线平移法；（3）补形平移法。
例 3、(1)如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1是
圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与BC 所成角的正切值为________．
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