《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题10.6 二项分布及其应用 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第十章 计数原理与古典概率
专题 10.6 二项分布及其应用（讲）
【考试要求】
1．理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能进行简单的应用。
【高考预测】
（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
（2）考查条件概率、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用.
（3）二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题．
（4）概率统计在决策中的应用
【知识与素养】
知识点一. 独立重复试验的概率
1．
n
次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做 n次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X，在每次试验中事件 A发生的概率为 p，那么在
n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
【例 1】（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜
错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次
活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为__________
__，3次活动中，甲至少获胜 2次的概率为______________
．
知识点二. 二项分布
1.若将事件 A发生的次数设为 X，发生的概率为 P，不发生的概率 q＝1－p，那么在 n次独立重复试验中，
事件 A恰好发生 k次的概率是 P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到 X的分布列
X0 1 …k…n
PCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X服从参数为
n，p的二项分布，记作 X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若
 
,X B n p
，则
 
E X np
.
若
 
,X B n p
，则
 
1D X np p 
．
【例 2】（2021·湖北·高三期中）小 和小 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有 6个大小和
质地相同的球，其中甲盒子中有 1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为 2个，小
同学在甲盒子中取球，小 同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色
后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学
期望
【重点难点突破】
考点一 ：独立重复试验
【典例 1】（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某
同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【典例 2】（2021·全国·高二课时练习）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为
，两人各投 1次称为一轮投篮.
（1）求乙在前 3次投篮中，恰好投进 2个球的概率；
（2）设前 3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量 ，求 的分布列与期望.
【总结提升】
独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
【变式探究】
1.（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））有 8 件产品，其中 4 件是次品，从中有放回地取 3 次（每次
1 件），若 X表示取得次品的次数，则
( 2)P X  
（ ）
A．
3
8
B．
13
14
C．
D．
2.（2019·湖北高二期末）
NBA
总决赛采用7 场 4 胜制，2018 年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假
设每场比赛勇士获胜的概率为 0.6，骑士获胜的概率为 0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好 5 场比赛
决出总冠军的概率为_______．
【总结提升】
1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为
n
次独立重复试验，若不符
合条件，则不能应用公式求解；在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k次的概率时，首先要确定好 n 和 k
的值，再准确利用公式求概率．
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
考点二 ：　二项分布及其应用
【典例 3】（2021·全国·高二课时练习）设 ，其中 ，且 ，那么
（ ）
A．B．C．D．
【典例 7】（2021·山东师范大学附中高三月考）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取
了50 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40 分钟）.将
统计数据按 ， ， ，…， 分组，制成频率分布直方图：
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