《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题10.1 两个计数原理 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第十章 计数原理与古典概率
专题 10.1 两个计数原理（讲）
【考试要求】
1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.
【高考预测】
（1）考查两个计数原理；
（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．
（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常
与排列组合问题或概率计算问题综合考查．
【知识与素养】
知识点一. 分类加法计数原理
1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念
一般形式：完成一件事有 n类不同方案，在第 1类方案中有
1
m
种不同的方法，在第 2类方案中有
2
m
种不
同的方法，……，在第 n类方案中有
n
m
种不同的方法，那么完成这件事共有 N=
1
m
+
2
m
+……+
n
m
种不同
的方法.
【例 1】（北京高考真题）从 0，2 中选一个数字．从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．
其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
知识点二. 分步乘法计数原理
1．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念
一般形式：完成一件事需要 n个步骤，做第 1步有
1
m
种不同的方法，做第 2步有
2
m
种不同的方法，……，
做第 n步有
n
m
种不同的方法，那么完成这件事共有 N=
1 2 n
m m m  …
种不同的方法.
2. 两个原理的区别：
（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同
类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相
互依赖，且是连续性的.
（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件
就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成
这件事.
3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.
【例 2】（2016 全国甲理 5）如图所示，小明从街道的
E
处出发，先到
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9
【重点难点突破】
考点一 ：分类加法计数原理
【典例 1】（四川高考真题）方程
ay =b2x2+c
中的
a , b , c ∈{−2,0,1,2,3 }
，且
a , b , c
互不相同，在所有这
些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A．28 条 B．32 条 C．36 条 D．48 条
【典例 2】（2021·甘肃·静宁县第一中学高二月考（理））如图所示，在 ， 间有四个焊接点
1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.
A．9 B．11 C．13 D．15
【规律方法】
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不
同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
【变式探究】
1. （2021·江西·横峰中学高二期中（理））由数字 1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（
）
A．15 B．12 C．10 D．5
2.（2021·全国·高二课时练习）用 1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个．
【总结提升】
分类加法计数原理的两个条件：
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满
足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
考点二 ： 分步乘法计数原理
【典例 3】（山东省 2018 年普通高校招生（春季））景区中有一座山，山的南面有 2 条道路，山的北面有
3 条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另
一面下山，则不同走法的种数是（ ）
A． 6 B． 10 C． 12 D． 20
【典例 4】（2021·福建·泉州科技中学高三月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视
为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只
有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
应用分步乘法计数原理的注意事项
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并
且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【变式探究】
1.（2020·福建福州·高三其他模拟（理））数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简
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