《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题8.7 立体几何中的向量方法 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第八章 空间向量与立体几何
专题 8.7 立体几何中的向量方法（讲）
【考试要求】
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题.
【高考预测】
（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.
（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.
（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角
坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面
(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般
以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转
化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此
类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直
角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.浙江卷已由单纯考查“几何法”转向几何法与空间向量方
法并重考查.
【知识与素养】
知识点 1．利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：
l
是空间一直线，
A
，
B
是直线
l
上任意两点，则称AB为直线
l
的方向向量，与AB平行
的任意非零向量也是直线
l
的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设
a
，
b
是平面
α
内两不共线向量，
n
为平面
α
的法向量，则求法向
量的方程组为
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线
l
1和
l
2的方向向量分别为
v1
和
v2
，则
l
1∥
l
2(或
l
1与
l
2重合)⇔
v1
∥
v2
.
②设直线
l
的方向向量为
v
，与平面
α
共面的两个不共线向量
v1
和
v2
，则
l
∥
α
或
l
⊂
α
⇔存在两个实数
x
，
y
，使
v
＝
xv1
＋
yv2
.
③设直线
l
的方向向量为
v
，平面
α
的法向量为
u
，则
l
∥
α
或
l
⊂
α
⇔
v
⊥
u
.
④设平面
α
和
β
的法向量分别为
u1
，
u2
，则
α
∥
β
⇔
u1
∥
u2
.
【典例 1】（2021·天津高考真题）如图，在棱长为 2的正方体 中，E为棱 BC 的中点，
F为棱 CD 的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III）.
【解析】
（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明 ，即可得证；
（II）求出 ，由 运算即可得解；
（III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】
（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则, , , , , , ，
因为 E为棱 BC 的中点，F为棱 CD 的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
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