《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题6.4 数列求和 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第六章 数列与数学归纳法
专题 6.4 数列求和（讲）
【考试要求】
1.掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用..
【高考预测】
1.等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.
2.简单的等差数列、等比数列求和..
3.往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值
等问题综合.求和方法考查公式法求和、 “裂项相消法”、“错位相减法”较多.
4.复习中注意:
（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；
（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法．
【知识与素养】
知识点一．数列求和
1. 等差数列的前
n
和的求和公式：
1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n n
S na d
 
 
.
2．等比数列前
n
项和公式
一般地，设等比数列
1 2 3
, , , , ,
n
a a a a 
的前
n
项和是
n
S
1 2 3 n
a a a a  
，当
1q
时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1
或
；当
1q
时，
1
naS
n
（错位相减法）.
3. 数列前
n
项和
①重要公式：
（1）
1
n
k
k
1 2 3 n  
2
)1( nn
（2）
1
(2 1)
n
k
k
 
 
1 3 5 2 1n  
2
n
（3）
3
1
n
k
k
2
333 )1(
2
1
21
nnn
（4）
2
1
n
k
k
)12)(1(
6
1
321
2222
nnnn
②等差数列中，
m n m n
S S S mnd
 
；
③等比数列中，
n m
m n n m m n
S S q S S q S
 
.
【典例 1】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列 满足 ， ，
.
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前 项的和为 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用定义法求 为定值即可；
（2）利用分组求和法求得 ，即可得证.
【详解】
（1）因为 ， ， ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以
.
【重点难点突破】
考点一 ：公式法、分组转化法求和
【典例 2】（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为 的长方形纸，对折 1次共可以得到 ， 两种规
格的图形，它们的面积之和 ，对折 2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折 4次共可以得到不同规
格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
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