《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题6.3 等比数列及其前n项和 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第六章 数列与数学归纳法
专题 6.3 等比数列及其前 n项和（讲）
【考试要求】
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；
2.了解等比数列与指数函数的关系.
3.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等比关系解决实际问题.
【高考预测】
1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前 n项和公式求基本量
；
2．等比数列的性质及应用.
3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论
的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．
4.复习中注意:
（1）与等差数列、数列求和、不等式及其它知识的综合问题；
（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.
【知识与素养】
知识点一．等比数列的有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比
数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
( 0)q
，即：
)0(
1
qq
a
a
n
n
,（注意：“从
第二项起”、“常数”
q
、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：
)0(
1
1
1
qaqaa
n
n
.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比
1d
时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）
等比数列的通项公式知：若
{ }
n
a
为等比数列，则
.
3．等比中项
如果在
ba与
中间插入一个数
G
，使
bGa ,,
成等比数列，那么
G
叫做
ba与
的等比中项（两个符号相同的
非零实数，都有两个等比中项）
4. 等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列
{ }
n
a
成等差数列，那么数列
 
n
a
A
(
n
a
A
总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列
{ }
n
a
成等比数列，且
0
n
a
，那么数列
{log }
a n
a
(
0a
，且
1a
)必成等差数列．
(3)如果数列
{ }
n
a
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{ }
n
a
是非零常数数列．数列
{ }
n
a
是常数数列仅是
数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进
行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
【典例 1】（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列
 
n
a
的前 4 项和为 15，且
5 3 1
3 4a a a 
，则
3
a
（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
知识点二．等比数列的前 n项和
一般地，设等比数列
1 2 3
, , , , ,
n
a a a a 
的前 n项和是
n
S
1 2 3 n
a a a a  
，当
1q
时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1
或
1
1
n
n
a a q
Sq
；当
1q
时，
1
naS
n
（错位相减法）.
说明：（1）
n
Snqa ,,,
1
和
nn
Sqaa ,,,
1
各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是
n
q
，通项公式中
是
1n
q
不要混淆；（3）应用求和公式时
1q
，必要时应讨论
1q
的情况.（4）若已知首项
1
a
和末项
n
a
，
则
1
1
n
n
a a q
Sq
；若等比数列{an}的首项是
1
a
，公比是
q
，则其前
n
项和公式为
q
qa
S
n
n
1
)1(
1
.
【典例 2】（2020·全国高考真题（文））记
Sn
为等比数列{
an
}的前
n
项和．若
a
5–
a
3=12，
a
6–
a
4=24，则
=（ ）
A．2
n
–1 B．2–21–
n
C．2–2
n
–1 D．21–
n
–1
知识点三．等比数列的相关性质
1.等比数列的性质：
（1）在等比数列
 
n
a
中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列
 
n
a
中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：
1
a
，
3
a
，
5
a
，
7
a
，……；
3
a
，
8
a
，
13
a
，
18
a
，……；
（3）在等比数列
 
n
a
中，对任意
m
，
n N
，
mn
mn
qaa
；
（4）在等比数列
 
n
a
中，若
m
，
n
，
p
，
q N
且
m n p q 
，则
m n p q
a a a a 
,特殊地，
2m p q 
时，则
2
m p q
a a a
，
m
a
是
p q
a a、
的等比中项. 也就是：
23121 nnn aaaaaa
，如
图所示：
  
 
n
n
aa
n
aa
nn
aaaaaa
1
12
,,,,,,
12321
.
（5）若数列
 
n
a
是等比数列，且公比不为－1，
n
S
是其前
n
项的和，
*
Nk
，那么
k
S
，
kk
SS
2
，
kk SS 23
成等比数列.
如下图所示：
  
 
  
  
k
kkkk
S
SS
kk
SS
kkk
aaaaaaaa
3
232k
31221
S
321
.
（6）两个等比数列
{ }
n
a
与
{ }
n
b
的积、商、倒数的数列
{ }
n n
a b
、
n
n
b
a
、
n
b
1
仍为等比数列．
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