《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题6.2 等差数列及其前n项和 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第六章 数列与数学归纳法
专题 6.2 等差数列及其前 n项和（讲）
【考试要求】
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
【高考预测】
（1）利用方程思想进行基本量的计算
.
（2）等差、等比数列的综合问题
.
【知识与素养】
知识点 1．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示.用递推公式表示为
1( 2)
n n
a a d n
 
或
1( 1)
n n
a a d n
 
.
2.等差数列的通项公式：
1
( 1)
n
a a n d 
；
说明：等差数列（通常可称为
A
P
数列）的单调性：
d
0
为递增数列，
为常数列，
为递减
数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项,其中
2
a b
A
.
a
，
A
，
b
成等差数列
2
a b
A
.
4.要注意概念中的“从第 2项起”．如果一个数列不是从第 2项起，而是从第 3项或第 4项起，每一项与它
前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
【典例 1】（2021·全国高考真题（文））记 为数列 的前 n项和，已知 ，且数列
是等差数列，证明： 是等差数列.
【总结提升】
1．等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列;
(3)通项公式： (为常数, )⇔
 
n
a
是等差数列;
(4)前 项和公式： (为常数, )⇔
 
n
a
是等差数列;
(5)
 
n
a
是等差数列⇔是等差数列.
知识点 2．等差数列的前 n项和
等差数列的前
n
和的求和公式：
1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n n
S na d
 
 
.
【典例 2】（2019·全国高考真题（文））记
Sn
为等差数列{
an
}的前
n
项和，已知
S
9=－
a
5．
（1）若
a
3=4，求{
an
}的通项公式；
（2）若
a
1>0，求使得
Sn
≥
an
的
n
的取值范围．
【总结提升】
1.要注意等差数列前
n
项和公式的灵活应用，
如 等．
2．求等差数列前
n
项和
Sn
最值的两种方法
(1)函数法
利用等差数列前
n
项和的函数表达式
Sn
＝
an
2＋
bn
，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)通项变号法
①当
a
1＞0，
d
＜0 时，满足的项数
m
使得
Sn
取得最大值为
Sm
；
②当
a
1＜0，
d
＞0 时，满足的项数
m
使得
Sn
取得最小值为
Sm
.
知识点 3．等差数列的相关性质
1.等差数列的性质：
 
n
a
daa nn
1
 
n N 
 
n
a
 
n
a
21
2
nnn
aaa
 
n N 
 
n
a
n
a pn q 
,p q
n N 
n
2
n
S An Bn  ,A B
n N 
n
S
n
 
 
 
（1）在等差数列
 
n
a
中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列
 
n
a
中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：
1
a
，
3
a
，
5
a
，
7
a
，……；
3
a
，
8
a
，
13
a
，
18
a
，……；
（3）在等差数列
 
n
a
中，对任意
m
，
n N
，
( )
n m
a a n m d  
，
n m
a a
dn m
( )m n
；
（4）在等差数列
 
n
a
中，若
m
，
n
，
p
，
q N
且
m n p q 
，则
m n p q
a a a a 
,特殊地，
2m p q 
时，则
2
m p q
a a a 
，
m
a
是
p q
a a、
的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即
2 3 2
, ,
n n n n n
S S S S S 
成等差数列.
（6）两个等差数列 与 的和差的数列 仍为等差数列．
（7）若数列 是等差数列,则 仍为等差数列．
2．设数列
{ }
n
a
是等差数列，且公差为
d
，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有
2n
项，则① ； ②
1
n
n
Sa
S a
奇
偶
；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有
2 1n
项，则①
n
a a 中
(中间项)；②
1
Sn
S n
奇
偶
.
3. ,则, .
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公
差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若
{ }
n
a
与 为等差数列，且前 项和分别为 与 ，则 .
6．等差数列的增减性： 时为递增数列，且当 时前 n项和 有最小值． 时为递减数列，
且当 时前 n项和 有最大值．
{ }
n
a
{ }
n
b
{ }
n n
a b
{ }
n
a{ }
n
ka
-S S nd
奇 偶
S S
偶 奇
 
,
p q
a q a p p q 
0
p q
a
m n m n
S S S mnd
 
{ }
n
b
n
n
S'
n
S
2 1
2 1
'
m m
m m
a S
b S
0d
1
0a
n
S
0d
1
0a
n
S
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