《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题5.4 应用向量方法解决简单的平面几何问题 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第五章 平面向量、复数
专题 5.4 应用向量方法解决简单的平面几何问题（讲）
【考试要求】
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
【高考预测】
（1）以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以上；
（2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角
函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少.
（3）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；
（4）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂
直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.
【知识与素养】
知识点 1.向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　 a ∥ b ⇔ a
＝ λ b ( 或
x 1y2－ x 2y1＝ 0) 　 ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直
的条件：　 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0( 或
x 1x2＋ y 1y2＝ 0) 　 ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式　 cos θ ＝　 ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量
用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
【典例 1】．（2021·上海高一课时练习）如图，正方形
ABCD
的边
BC
在正方形
BEFG
的边
BG
上，联结
AG
、
CE
，
AG
交
DC
于
H
．
（1）证明： ；
（2）当点
C
在
BG
的什么位置时， 最小？
【答案】（1）证明见解析；（2）点
C
在
BG
的中点.
【解析】
（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明
（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.
【详解】
以
B
为原点，
BE
所在所在直线为
x
轴，以
BG
所在直线为
y
轴，建立直角坐标系．设 ， ，且
a
<
b
，
∴ 、 、 ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，即 ．
（2）易知 ， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴点
C
在
BG
的中点时， 最小．
知识点 2．向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，
在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
【典例 2】（2021·全国高一课时练习）空间作用在同一点的三个力 两两夹角为 ，大小分别为
，设它们的合力为 ，则（ ）
A． ，且与 夹角余弦为
B． ，且与 夹角余弦为
C． ，且与 夹角余弦为
D． ，且与 夹角余弦为
【答案】C
【解析】
设三个力对应的向量分别为 、 、 ，以 、 、 为过同一个顶点的三条棱，作平行六
面体如图，再以平面 为 平面， 为原点、 为 轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点
、 、 的坐标，运用向量的加法法则，可得， ， ．最后利用向量模的公式算出 ，
并且利用向量夹角公式算出 与 夹角余弦，即得解.
【详解】
设向量 ， ，
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