《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题5.3 平面向量的数量积及应用 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第五章 平面向量、复数
专题 5.3 平面向量的数量积及应用（讲）
【考试要求】
1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.
3．掌握平面向量数量积的坐标运算.
【高考预测】
（1）以考查数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以上；
（2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角
函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少.
（3）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；
（4）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂
直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.
【知识与素养】
知识点 1．两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量 a和b，作
OA

＝a，
OB
＝b，则∠AOB＝θ叫做向量 a与b的夹角．
2．范围
向量夹角 θ的范围是 0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角 θ＝0°；a与b反向时，夹角 θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量 a与b的夹角是 90°，则 a与b垂直，记作 a⊥b.
知识点 2．平面向量的数量积
1．已知两个非零向量 a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ
是a与b的夹角．
规定 0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时 a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点 3．数量积的运算律
1．交换律：
a
·
b
＝
b
·
a
.
2．分配律：(
a
＋
b
)·
c
＝
a
·
c
＋
b
·
c
.
3．对
λ
∈R，
λ
(
a
·
b
)＝(
λa
)·
b
＝
a
·(
λb
)．
知识点 4．向量数量积的性质
1．如果
e
是单位向量，则
a
·
e
＝
e
·
a
.
2．
a
⊥
b
a
·
b
＝0.
3．
a
·
a
＝|
a
|2，
| |= a a a
.
4．cos
θ
＝
| || |
a b
a b
.(
θ
为
a
与
b
的夹角)
5．|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|.
【典例 1】（2020·天津高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，
则 的最小值为_________．
知识点 5．数量积的坐标运算
设
a
＝(
a
1，
a
2)，
b
＝(
b
1，
b
2)，则：
1．
a
·
b
＝
a
1
b
1＋
a
2
b
2.
2．
a
⊥
b
a
1
b
1＋
a
2
b
2＝0.
3．|
a
|＝.
4．cos
θ
＝
| || |
a b
a b
＝
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a b
a a b b
 
.(
θ
为
a
与
b
的夹角)
【典例 2】（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______；____
___．
【重点难点突破】
考点一 ：平面向量数量积的运算
【典例 3】．（2021·浙江高考真题）已知平面向量 满足
.记向量 在 方向上的投影分别为 x，y， 在 方向上的投影
为z，则 的最小值为___________.
【典例 4】（2019·天津高考真题（理）） 在四边形
中，
AD BC∥
，
2 3AB
，
5AD
，
30A 
，点
E
在线段
CB
的延长线上，且
AE BE
，则
BD AE 
              
__________.
【规律方法】
计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos
θ
(
θ
是
a
与
b
的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转
化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
【变式探究】
1．（2020 届浙江绍兴市柯桥区高三上期末）已知正三角形
ABC
的边长为 4，
P
是平面
ABC
内一点，且
满足
3
APB
 
，则
PB AC
              
的最大值是______，最小值是______.
2.（2020 届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形
ABCD
中，
2AB
，点
M
，
N
分别是
边
AD
，
BC
的中点，且
3
2
MN
，若
 
3
2
MN AD BC 
                            
，则
AB CD 
 
______.
【总结提升】
②知向量
a
，
b
的模及夹角
θ
，利用公式
a·b
＝|
a
||
b|
cos
θ
求解；
②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．
考点二： 平面向量的夹角问题
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