《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第五章 平面向量、复数
专题 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲）
【考试要求】
1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算.
【高考预测】
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算；
（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查平面向量基本定理等问题；也易同三角函数、
解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
(4) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；
(5)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面
直角坐标系，利用坐标运算解题.
【知识与素养】
1．平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果
1 2
e e，
是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量
a
，有且只有一对实数
1 2
 
，
，
使
1 1 2 2
a e e
 
+
.其中，不共线的向量
1 2
e e，
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【典例 1】（2021·福建龙岩市·高一期末）设 是平面内两个不共线的向量，则向量 可作为基底的
是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
逐项判断向量 是否共线，若 不共线，则可以作为基底
【详解】
解：对于 A，因为 ，所以 共线，所以 不能作为基底，所以 A不合题
意；
对于 B，因为 ，所以 共线，所以 不能作为基底，所以 B不合题
意；
对于 C，若 共线，则存在唯一实数 ，使 ，即 ，所以 且
，所以 不存在，所以 不共线，所以 可以作为基底，所以 C符合题意；
对于 D，因为 ，所以 共线，所以 不能作为基底，所以 D不合
题意，
故选：C
2．平面向量的坐标运算
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量
,i j
作为基底，对于平面内的一个向
量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得
a x yi j＝ ＋
，这样，平面内的任一向量
a
都
可由 x、y唯一确定，因此把
叫做向量
a
的坐标，记作
( , )a x y
，其中 x叫做
a
在x轴上的坐标，y
叫做
a
在y轴上的坐标．
(2)若
1 1 2 2
( ) ( )A x y B x y， ， ，
，则
2 1 2 1
( )A x x y yB＝ － ， －
．
3．平面向量的坐标运算
(1)若
1 1 2 2
( ) ( )a x y b x y ， ， ，
，则
1 2 1 2
( )a b x x y y  ，
；
(2)若
( )a x y＝ ，
，则
( )a x y
 
＝ ，
．
(3)设
1 1 2 2
( ) ( )A x y B x y， ， ，
，则
2 1 2 1
( )A x x y yB＝ － ， －
，
2
2 1 2
2
1
| ( )A x x yB y＝ － (－| )
.
【典例 2】．（2021·北京首都师大二附高一期末）在平面直角坐标系中，已知两点
A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则 的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】
由坐标知 ，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余
弦公式求得结果.
【详解】
由A，B坐标知， ，
则
故选：D
3．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若
1 1 2 2
( ) ( )a x y b x y ， ， ，
，则
a b∥
⇔
1 2 2 1
0x y x y -
.
【典例 3】（2021·江苏省镇江第一中学高一期中）设向量 ， ， ，且
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