《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题5.1 平面向量的概念及线性运算 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第五章 平面向量、复数
专题 5.1 平面向量的概念及线性运算（讲）
【考试要求】
1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量
相等、平行向量、向量夹角的概念.
2.向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
【高考预测】
（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量
的线性运算求参数等；
（2）考查单位向量较多.
（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，
以工具的形式出现．.
(4) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.
【知识与素养】
知识点 1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于 0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于 1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【典例 1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若 ，则 ；②若 A，B，C，D
是不共线的四点，则“ ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 ,，
则 ；④ 的充要条件是 且 .其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
知识点 2．平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a b b a＋＝＋
；
(2)结合律：
( +( )a b c a b c＋) +＝ ＋
减法
求a与b的相反向量
－b的和的运算叫做
a与b的差 三角形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ>0 时，λa的方向与 a的方向相同；当 λ<0 时，λa的方向与 a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设 λ，μ是两个实数，则：
①
 
 
a a
  
＝
；②
( ) a a a
 
＋ ＝ ＋
；③
( )a b a b
 
＋ ＝ ＋
.
【典例 2】（2020·海南高考真题）在 中，D是AB 边上的中点，则 =（ ）
A．B．C．D．
知识点 3．共线向量
共线向量定理：向量 a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
【典例 3】（2020·天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A． ， 则
B．起点相同的两个非零向量不平行
C．若 ，则 与 必共线
D．若 则 与 的方向相同或相反
【重点难点突破】
考点一 向量的有关概念
【典例 4】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ）
A．向量
的长度与向量
AO

的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【易错提醒】
1．有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
【变式探究】
设
a
0为单位向量，下列命题中：①若
a
为平面内的某个向量，则
a
＝|
a
|·
a
0；②若
a
与
a
0平行，则
a
＝|
a
|
a
0；③若
a
与
a
0平行且|
a
|＝1，则
a
＝
a
0，假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【总结提升】
(1)非零向量
a
与的关系：是与
a
同方向的单位向量，－是与
a
反方向的单位向量．
(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
（4）几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
考点二 平面向量的线性运算
【典例 5】（2018年新课标I 卷理）在△
ABC
中，
AD
为
BC
边上的中线，
E
为
AD
的中点，则
⃑
EB =¿
（
）
A．
3
4
⃑
AB −1
4
⃑
AC
B．
1
4
⃑
AB −3
4
⃑
AC
C．
3
4
⃑
AB +1
4
⃑
AC
D．
1
4
⃑
AB +3
4
⃑
AC
【典例 6】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形
ABCD
中，若
4CE ED
 
，则
BE

（ ）
A．
3
4AB AD 
              
B．
4
5AB AD
 
C．
4
5
AB AD 
 
D．
4
5AB AD 
 
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