《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题5.1 平面向量的概念及线性运算 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第五章 平面向量、复数
专题 5.1 平面向量的概念及线性运算（讲）
【考试要求】
1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量
相等、平行向量、向量夹角的概念.
2.向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
【高考预测】
（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量
的线性运算求参数等；
（2）考查单位向量较多.
（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，
以工具的形式出现．.
(4) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.
【知识与素养】
知识点 1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于 0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于 1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【典例 1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若 ，则 ；②若 A，B，C，D
是不共线的四点，则“ ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 ,，
则 ；④ 的充要条件是 且 .其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
【答案】A
【解析】
对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可
知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念
分析可知不正确.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为 A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于 且 ，即等价于四
边形 ABCD 为平行四边形，故②正确；
对于③，若 ,，则 ；显然正确，故③正确；
对于④，由 可以推出 且 ，但是由 且 可能推出 ，故“ 且
”是“ ”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
知识点 2．平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a b b a＋＝＋
；
(2)结合律：
( +( )a b c a b c＋) +＝ ＋
减法
求a与b的相反向量
－b的和的运算叫做
a与b的差 三角形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ>0 时，λa的方向与 a的方向相同；当 λ<0 时，λa的方向与 a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设 λ，μ是两个实数，则：
①
 
 
a a
  
＝
；②
( ) a a a
 
＋ ＝ ＋
；③
( )a b a b
 
＋ ＝ ＋
.
【典例 2】（2020·海南高考真题）在 中，D是AB 边上的中点，则 =（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
知识点 3．共线向量
共线向量定理：向量 a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
【典例 3】（2020·天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A． ， 则
B．起点相同的两个非零向量不平行
C．若 ，则 与 必共线
D．若 则 与 的方向相同或相反
【答案】C
【解析】
对于 A：当 时， 不一定成立；
对于 B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）；
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