《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.7 解三角形及其应用举例 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.7 解三角形及其应用举例（讲）
【考试要求】
掌握正弦定理、余弦定理及其应用
【高考预测】
（1）测量距离问题；
（2测量高度问题；
（3）测量角度问题.
（4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真
理解题意. 从浙江卷来看，本节是高考中的一个“冷考点”．三角形中的应用问题，主要是结合直角三角
形、正方形等，考查边角及面积的计算，与平面向量、解析几何、立体几何等结合考查，也有与导数结合
考查的情况.
【知识与素养】
知识点 1．实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角
(如图 1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图 2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)
①北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向．
②北偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
　　　
(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4，角 θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4，i为坡比)．
【典例 1】（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为
“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞
的口径 A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 C，D，测得 ， ，
， ，则 两点的距离为______ .
【答案】
【解析】
根据题意，求得各个角度，即可得 CD 长，根据正弦定理，可得 BD 长，根据余弦定理，即可得答案.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
由正弦定理得： ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：
【总结提升】
研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三
角形的边长问题，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
【重点难点突破】
考点 1 与平面向量、解析几何、立体几何结合
【典例 2】（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则 C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
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