《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.6 正弦定理和余弦定理 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.6 正弦定理和余弦定理（讲）
【考试要求】
掌握正弦定理、余弦定理及其应用
【高考预测】
（1）正弦定理或余弦定理独立命题；
（2）正弦定理与余弦定理综合命题；
（3）与三角函数的变换、三角函数的性质结合命题；
（4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往
综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、平面解析
几何、立体几何等结合考查.
【知识与素养】
知识点 1．正弦定理
正弦定理：＝＝＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式 S＝absin C＝bcsin A＝acsin B
【典例 1】（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且
．
（I）求角 B的大小；
（II）求 cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【解析】
（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三
角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
【详解】
（I）由 结合正弦定理可得：
△ABC 为锐角三角形，故 .
（II）结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是 .
【总结提升】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，
应引起注意．
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知
a
，
b
，
A
，则
A
为锐角
A
为钝角或直角
图形
关系式
a
＜
b
sin
A a
＝
b
sin
A
b
sin
A
＜
a
＜
b
a
≥
b a
＞
b a
≤
b
解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
知识点 2．余弦定理
余弦定理： ， ， .
变形公式 cos
A
＝，cos
B
＝，os
C
＝
【典例 2】（2021·浙江高考真题）在 中， ，M是 的中点， ，则
___________，___________.
【答案】
【解析】
由题意结合余弦定理可得 ，进而可得 ，再由余弦定理可得 .
【详解】
由题意作出图形，如图，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，
2 2 2
2 cosa b c ab C 
2 2 2
2 cosb c a ac A 
2 2 2
2 cosc a b ac B
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