《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.3 三角恒等变换 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.3 三角恒等变换（讲）
【考试要求】
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
【高考预测】
（1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相
结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题
（2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题；
（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.
（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与
角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.
【知识与素养】
知识点 1．两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
T(α－β)：tan(α－β)＝.
（2）变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
)
4
sin(2cossin
.
（3）辅助角公式
一般地，函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为 f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .
【典例 1】（2020·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
知识点 2．二倍角公式
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝.
（2）变形公式：
cos2α＝，sin2α＝
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
【典例 2】（2021·全国高考真题（文）） （ ）
A．B．C．D．
【重点难点突破】
考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2021·全国高三其他模拟）已知点 ， 为坐标原点，线段 绕原点 逆时针旋
转 ，到达线段 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【典例 4】（2020·山东聊城�高一期末）角
的终边与单位圆的交点坐标为
3 1
( , )
2 2
，将
的终边绕原点
顺时针旋转
3
4
，得到角
，则
（ ）
A．
6 2
4
B．
6 2
4
C．
3 1
4
D．
0
【规律方法】
1.三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可
简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
3.给值求角问题，解题的一般步骤是：
(1)先确定角 α的范围，且使这个范围尽量小；
(2)根据(1)所得范围来确定求 tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函
数；
(3)求α的一个三角函数值；(4)写出 α的大小．
【变式探究】
1.（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知
为锐角，且
3
cos( )
6 5
 
，则
sin
（ ）
A．
4 3 3
10
B．
4 3 3
10
C．
3 3 4
10
D．
3 3 4
10
2．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点 沿圆周逆时针旋转 到点 ，
若点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为___________.
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