《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲）
【考试要求】
1. 理解同角三角函数的基本关系.
2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
【高考预测】
（1）公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主．
（3）诱导公式的应用，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系；
（4）同角三角函数基本关系式，注意同角的三个函数值中 知一求二.
【知识与素养】
知识点 1．同角三角函数的基本关系式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2.对同角三角函数基本关系式的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前
提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1成立，但是 sin2α＋cos2β＝1就不一定成
立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1⇒
tanα＝⇒
【典例 1】（2021·新疆乌鲁木齐市·高三二模（文））已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【方法点睛】类似这种对称分式 的化简，一般将分式的分子分母同时除以 .
sin ,cos , tan
 
知识点 2．三角函数诱导公式
六组诱导公式
　角
函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α－απ－α－α＋α
正弦 sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α
余弦 cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α
正切 tan_αtan_α－tan_α－tan_α
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在 α的三角函
数值前面加上当 α为锐角时，原函数值的符号”
【典例 2】（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若 ，则 （
）
A．B．C．D．
知识点 3．特殊角的三角函数值（熟记）
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
角α的
弧度数
sin α
cos α
tan α
【典例 3】（2021·浙江高二期末） 的值为（ ）
A．B．C．D．
【重点难点突破】
考点一 同角三角函数的基本关系式
【典例 4】（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用 sin2
α
＋cos2
α
＝1 可实现
α
的正弦、余弦的互化，注意
 
2
2 2
1 2 4
sin cos sin cos sin cos tan
 
   
等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求
平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用＝tan
α
可以实现角
α
的弦切互化．
（1）若已知 tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以 cosα(或cos2α)转化为 tanα的代数式，
再求值，如果先求出 sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以
cos2α再求解．
【变式探究】
（2020·金华市江南中学高一月考）已知
sin cos
sin cos
x x
x x
=2，则 tanx=____，sinxcosx=____.
【总结提升】
在使用开平方关系 sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角 α所在的象限，
如果角 α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角 α所在的象限是未
知的，则需要按象限进行讨论．
考点二 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用
【典例 5】（2021·全国高三其他模拟（理））若 ，则
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