《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）
【考试要求】
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
【高考预测】
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；
二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【知识与素养】
知识点 1．象限角及终边相同的角
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角 α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角 α作为圆心
角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的 r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π弧度．
【典例 1】（2021·上海高一课时练习）下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A．-56°与664° B．800°与-1360°
C．150°与630° D．-150°与930°
知识点 2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么角 α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.三角函数线
设角 α的顶点在坐标原点，始边与 x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P作PM 垂直于 x轴于
M.由三角函数的定义知，点 P的坐标为(cos_α，sin_α)，即 P(cos_α，sin_α)，其中 cos α＝OM，sin α＝
MP，单位圆与 x轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A点的切线与 α的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan
α＝AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段 MP 为正弦
线
有向线段 OM 为余弦
线
有向线段 AT 为正切
线
【典例 2】（全国高考真题）若
sin α<0
，且
tan α>0
，则
α
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
知识点 3．扇形的弧长及面积公式
弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.
【典例 3】（2021·湖南永州市·高三三模）下图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆
弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为 米，两堤岸的连接点 A，B间的
距离为 米，则该月牙潭的面积为________平方米．
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【重点难点突破】
考点一 象限角及终边相同的角
【典例 4】（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于 的角是锐角；③第一象
限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度
为 ；⑥若 ，则 是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为
k
·360°＋
α
(0°≤
α
＜360°，
k
∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的
角
α
，再由角
α
终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】
（2021·上海高一课时练习）设与 终边相同的角的集合为 M，则① ；
②M中最小正角是 ；③ M中最大负角是 ，其中正确的有____________.（选填序号）
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}
(2)轴线角：
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
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