《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第四章 三角函数与解三角形
专题 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）
【考试要求】
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
【高考预测】
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；
二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【知识与素养】
知识点 1．象限角及终边相同的角
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角 α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角 α作为圆心
角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的 r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π弧度．
【典例 1】（2021·上海高一课时练习）下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A．-56°与664° B．800°与-1360°
C．150°与630° D．-150°与930°
【答案】C
【解析】
利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解.
【详解】
因终边相同的两个角总是相差 的整数倍，
对于 A， ，即角-56°与664°终边相同，A不正确；
对于 B， ，即角 800°与-1360°终边相同，B不正确；
对于 C， ，即角 150°与630°终边不相同，C正确；
对于 D， ，即角-150°与930°终边相同，D不正确，
所以角 150°与630°终边不相同.
故选：C
知识点 2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么角 α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.三角函数线
设角 α的顶点在坐标原点，始边与 x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P作PM 垂直于 x轴于
M.由三角函数的定义知，点 P的坐标为(cos_α，sin_α)，即 P(cos_α，sin_α)，其中 cos α＝OM，sin α＝
MP，单位圆与 x轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A点的切线与 α的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan
α＝AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段 MP 为正弦
线
有向线段 OM 为余弦
线
有向线段 AT 为正切
线
【典例 2】（全国高考真题）若
sin α<0
，且
tan α>0
，则
α
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】
sin α<0
，则
α
的终边在三、四象限；
tan α>0
则
α
的终边在三、一象限，
sin α<0
，
，同时满足，则
α
的终边在三象限.
知识点 3．扇形的弧长及面积公式
弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.
【典例 3】（2021·湖南永州市·高三三模）下图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆
弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为 米，两堤岸的连接点 A，B间的
距离为 米，则该月牙潭的面积为________平方米．
【答案】
【解析】
求出内堤岸所在圆中的弓形面积，然后用外堤岸所在半圆面积减去弓形面积即得．
【详解】
如图是内堤岸圆弧所在圆，由题意
4−
√
2
， ，所以 ，
弦 上方弓形面积为 ，
所以所求面积为 ．
故答案为：450．
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
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