《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.4 导数的综合应用 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.4 导数的综合应用（讲）
【考试要求】
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函
数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
【高考预测】
（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零
点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；
（2）适度关注生活中的优化问题.
【知识与素养】
1．利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先
观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析
式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
【典例 1】（2021·浙江高三期末）函数 的图象大致为（ ）
A．B．
 
2
ln 1 2f x x x x  
C．D．
2．与函数零点有关的参数范围问题
（1）方程
( ) 0f x
有实根
�
函数
( )y f x
的图象与
x
轴有交点
�
函数
( )y f x
有零点．
（2）求极值的步骤：
①先求
'( ) 0f x
的根
0
x
（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析
0
x
两侧导数
的符号：若左侧导数负右侧导数正，则
0
x
为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，
则
0
x
为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数
的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
（4）函数
( )y f x
的零点就是
( ) 0f x
的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉
函数图象的交点横坐标.
【典例 2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数
.
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和
热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转
化为求函数的最值问题来处理．
( )f x a
：
min
max
max
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
 
 
 
恒成立
有解
无解
【典例 3】（2021·浙江高三其他模拟）已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的
最小值为___________.
4．利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最
值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
【典例 4】（2021·山东青岛市·高三三模）定义在 上的奇函数 的图象连续不断，其导函数为 ，
对任意正实数 恒有 ，若 ，则不等式 的解
集是（ ）
A．B．
C．D．
【重点难点突破】
考点一 ：利用导数研究函数的零点或零点个数
【典例 5】（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）已知函数
 
ln 2sinf x x x x  
,
 
f x
为
的
导函数.
(1)求证:
 
f x
在
 
0
，
上存在唯一零点;
(2)求证:
有且仅有两个不同的零点.
【方法技巧】
利用导数研究函数零点或方程根的方法
R
 
f x
 
f x
x
 
2xf x f x 
   
2
g x x f x
 
 
 
2
3
log 1 1 0g x g  
 
0, 2
 
2, 2
 
3, 2
 
2, 1 1, 2 
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