《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.3 应用导数研究函数的极值、最值 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.3 应用导数研究函数的极值、最值（讲）
【考试要求】
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函
数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
【高考预测】
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、
函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较
强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
（3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象
等相结合，且有综合化更强的趋势．
【知识与素养】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点 x＝a附近
的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b附
近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【典例 1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间为 B． 的极小值点为 1
C． 的极大值为 D． 的最小值为
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单
调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【典例 2】（2021·全国高考真题）函数 的最小值为______.
【重点难点突破】
考点一 ：函数极值的辨析
【典例 3】（2021·广东广州市·高三三模）已知函数 ，则 的大致图像为（
）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图
象，若给的是 f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f ′(x)的图象，应先找出 f ′(x)
的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有 f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验 f(x)在x＝x0两
侧的符号后才可下结论；若 f ′(x0)＝0，则 f(x)未必在 x＝x0处取得极值，只有确认 x1<x0<x2时，
f(x1)·f(x2)<0，才可确定 f(x)在x＝x0处取得极值．
【变式探究】
（重庆高考真题）设函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f ′(x)，且函数 y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下
列结论中一定成立的是(　D　)
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)
D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
【易错提醒】
（1）可导函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
0处取得极值的充要条件是
f
′(
x
0)＝0，且在
x
0左侧与右侧
f
′(
x
)的符号
不同；
（2）若
f
(
x
)在(
a
，
b
)内有极值，那么
f
(
x
)在(
a
，
b
)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数
没有极值．
考点二：已知函数求极值点的个数
【典例 4】（2021·山东日照市·高三月考）已知函数 ．
（1）若 讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 的极值点个数．
【易错提醒】
极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
【变式探究】
（山东高考真题）已知函数
 
3 2
1 1 ,
3 2
f x x ax a R 
.
(I)当
a
=2 时,求曲线
 
y f x
在点
 
 
3, 3f
处的切线方程；
(II)设函数
   
cos sing x f x x a x x  
,讨论
 
g x
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
考点三：已知函数求极值（点）
【典例 5】（2021·四川雅安市·雅安中学高二期中（理））已知函数
.
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