《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.3 应用导数研究函数的极值、最值 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.3 应用导数研究函数的极值、最值（讲）
【考试要求】
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函
数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
【高考预测】
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、
函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较
强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
（3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象
等相结合，且有综合化更强的趋势．
【知识与素养】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点 x＝a附近
的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b附
近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【典例 1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间为 B． 的极小值点为 1
C． 的极大值为 D． 的最小值为
【答案】C
【解析】
先对函数求导 ，令 ，再利用导数判断其单调性，而 ，从
而可求出 的单调区间和极值
【详解】
.令 ，则 ，
所以 在 上单调递减.因为 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故 的极大值点为 1， 的极大值为
故选：C
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单
调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【典例 2】（2021·全国高考真题）函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可
求 最小值.
【详解】
由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
【重点难点突破】
考点一 ：函数极值的辨析
【典例 3】（2021·广东广州市·高三三模）已知函数 ，则 的大致图像为（
）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
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