《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.2 应用导数研究函数的单调性 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.2 应用导数研究函数的单调性（讲）
【考试要求】
了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
【高考预测】
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、
函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较
强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
【知识与素养】
1．利用导数研究函数的单调性
在
( , )a b
内可导函数
( )f x
，
'( )f x
在
( , )a b
任意子区间内都不恒等于 0.
'( ) 0 ( )f x f x 
在
( , )a b
上为增函数．
'( ) 0 ( )f x f x 
在
( , )a b
上为减函数．
【典例 1】（北京高考真题）设函数
( )
a x
f x xe bx
 
，曲线
( )y f x
在点
(2, (2))f
处的切线方程为
，
（1）求
a
，
b
的值；
（2）求
( )f x
的单调区间.
【重点难点突破】
考点一 ：判断或证明函数的单调性
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））已知函数
f
(
x
)=sin2
x
sin2
x
.
（1）讨论
f
(
x
)在区间(0，
π
)的单调性；
【规律方法】
1．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数 f(x)的导数 f′(x)：(1)若f′(x)>0，则 y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则 y＝f(x)在(a，b)上单
调递减；(3)若恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数
f(x)
的定义域；②求导数
f'(x)
；③由
f'(x)>0
（或
f'(x)<0
）解出相应的
x
的取值范围，当
f'(x)>0
时，
f(x)
在相应区间上是增函数；当
f'(x)<0
时，
f(x)
在
相应区间上是减增函数.
【变式探究】
已知函数
 
2
11 ln
2
f x x ax a x  
，
1a
。
（Ⅰ）若
'
(2) 0f
，求
a
的值；
（Ⅱ）讨论函数
 
f x
的单调性。
【易错提醒】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当
f
(
x
)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：
(1)
f
′(
x
)＝0 是否有根；
(2)若
f
′(
x
)＝0 有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
考点二 ：求函数的单调区间
【典例 3】（2021·北京高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【总结提升】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式
f
′(
x
)＞0 或
f
′(
x
)＜0 求出单调区间．
(2)当方程
f
′(
x
)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间
f
′(
x
)的
符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据
f
′(
x
)结构特征，利用图象与性质确定
f
′(
x
)的符号，从而
确定单调区间．
温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”
“和”字隔开．
【变式探究】
（2020·金华市曙光学校高二月考）已知
( ) lgf x x x
，那么
( )f x
单调递增区间__________；
( )f x
单调递
减区间__________.
考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象
【典例 4】（2021·浙江高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（
）
A．B．
C．D．
【典例 5】（浙江高考真题）函数
   
y yf x f x 
，
的导函数
的图像如图所示，则函数
 
yf x
的图
像可能是（ ）
A． B．
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