《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.2 应用导数研究函数的单调性 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.2 应用导数研究函数的单调性（讲）
【考试要求】
了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
【高考预测】
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、
函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较
强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
【知识与素养】
1．利用导数研究函数的单调性
在
( , )a b
内可导函数
( )f x
，
'( )f x
在
( , )a b
任意子区间内都不恒等于 0.
'( ) 0 ( )f x f x 
在
( , )a b
上为增函数．
'( ) 0 ( )f x f x 
在
( , )a b
上为减函数．
【典例 1】（北京高考真题）设函数
( )
a x
f x xe bx
 
，曲线
( )y f x
在点
(2, (2))f
处的切线方程为
，
（1）求
a
，
b
的值；
（2）求
( )f x
的单调区间.
【答案】（Ⅰ）
2a
，
b e
；（2）
)(xf
的单调递增区间为
( , ) 
.
【解析】
（1）因为
bxxexf
xa
)(
，所以
bexxf
xa
)1()(
.
依题设，
,1)2(
,22)2(
ef
ef
即
,1
,2222
2
2
ebe
ebe
a
a
解得
eba ,2
；（2）由（Ⅰ）知
exxexf
x
2
)(
.
由
)1()( 12
xx exexf
即
0
2
x
e
知，
)(xf
与
1
1
x
ex
同号.
令
1
1)(
x
exxg
，则
1
1)(
x
exg
.
所以，当
)1,(x
时，
0)(
xg
，
)(xg
在区间
)1,(
上单调递减；
当
),1( x
时，
0)(
xg
，
)(xg
在区间
),1(
上单调递增.
故
1)1( g
是
)(xg
在区间
),(
上的最小值，
从而
),(,0)( xxg
.
综上可知，
0)(
xf
，
),( x
，故
)(xf
的单调递增区间为
),( 
.
【重点难点突破】
考点一 ：判断或证明函数的单调性
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））已知函数
f
(
x
)=sin2
x
sin2
x
.
（1）讨论
f
(
x
)在区间(0，
π
)的单调性；
【答案】（1）当
0, 3
x
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调递增，当
2
,
3 3
x
 
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调
递减，当
2,
3
x
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调递增.
【解析】
(1)由函数的解析式可得：
 
3
2sin cosf x x x
，则：
 
 
2 2 4
' 2 3sin cos sinf x x x x 
 
2 2 2
2sin 3cos sinx x x 
 
2 2
2sin 4cos 1x x 
  
2
2sin 2 cos 1 2 cos 1x x x  
，
 
' 0f x
在
 
0,x
上的根为：
1 2
2
,
3 3
x x
 
 
，
当
0, 3
x
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调递增，
当
2
,
3 3
x
 
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调递减，
当
2,
3
x
 
 
 
时，
   
' 0,f x f x
单调递增.
【规律方法】
1．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数 f(x)的导数 f′(x)：(1)若f′(x)>0，则 y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则 y＝f(x)在(a，b)上单
调递减；(3)若恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数
f(x)
的定义域；②求导数
f'(x)
；③由
f'(x)>0
（或
f'(x)<0
）解出相应的
x
的取值范围，当
f'(x)>0
时，
f(x)
在相应区间上是增函数；当
f'(x)<0
时，
f(x)
在
相应区间上是减增函数.
【变式探究】
已知函数
 
2
11 ln
2
f x x ax a x  
，
1a
。
（Ⅰ）若
'
(2) 0f
，求
a
的值；
（Ⅱ）讨论函数
 
f x
的单调性。
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得：
 
1a
f x x a x
 
，故
 
1
2 2 =0
2
a
f a
 
，∴
3a
.
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