《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题3.1 导数的概念、运算及导数的几何意义 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第三章 导数
专题 3.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（讲）
【考试要求】
1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数
（限于形如 )的导数）.
【高考预测】
（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；
（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来
体现.
（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有：
①求切线斜率、倾斜角、切线方程．
②确定切点坐标问题．
③已知切线问题求参数．
④切线的综合应用．
【知识与素养】
知识点 1．导数的概念
1．函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0， 即
.
2．函数 f(x)的导函数
称函数 为 f(x)的导函数．
【典例 1】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数 ，若
( )f ax b
0 0
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f x y
x x
   
 
 
0 0
00 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f x
y
f x x x
   
 
 
 
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x x
 
 
，则 （ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数 在点 处导数的方法：
①求函数的增量 ；
②求平均变化率 ；
③得导数 ，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，
导数值是常数
知识点 2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xn(nQ∈*)f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝axf′(x)＝axlna
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
( )y f x
0
x
0 0
( ) ( )y f x x f x  
0 0
( ) ( )f x x f x
y
x x
 
 
00
( ) lim
x
y
f x x
 
2
( ) '( ) ( ) '( ) ( )
'
( ) ( )
f x f x g x g x f x
g x g x
   
 
 
(4) 复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对x的导数等于 y对u
的导数与 u对x的导数的乘积．
【典例 2】（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数 ，则 （
）
A．B．C．6 D．14
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.
知识点 3．函数 在 处的导数几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移
函数 s(t)对时间 t的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【典例 3】（2021·全国高考真题（理））曲线 在点 处的切线方程为__________．
【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(
x
0，
f
(
x
0))为切点的切线方程的求解步骤：
( )y f x
0
x x
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